高中数学第一章1.5平行关系学案北师大版必修5.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 1 课时平行关系的判定 核心必知 1直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系图形语言符号语言 直线在平面内a 直线与平面相交aA 直线与平面平行a 2.直线与平面平行的判定 文字语言图形语言符号语言 若平面外的一条直线与此平面内的一条直线 平行,则该直线与此平面平行 3.平面与平面平行的判定 文字语言图形语言符号语言 如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面,则两 平面平行 问题思考 1若直线a平行于平面内的无数条直线,则直线a平行于平面吗? 提示:不一定,因为直线a在平面内时,与a平行的直线也有无数条 2对于平面与平面平行的判定定理中
2、,若把“相交”去掉,这两个平面是否一定平行, 为什么? 提示:不一定如图中,平面内的两条直线a,b均平行于,而与却相交 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 讲一讲 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,E,F分别是PB,PC的中点证 明:EF平面PAD. 尝试解答 证明:在PBC中,E,F分别是PB,PC的中点, EFBC.又BCAD,EFAD. 又AD平面PAD,EF平面PAD, EF平面PAD. 1判断或证明线面平行的方法 (1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作 ); (2)判定定理法:a,b,ab?a; (3)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内
3、2证明线线平行的方法 (1)利用三角形、梯形中位线的性质; (2)利用平行四边形的性质; (3)利用平行线分线段成比例定理 练一练 1如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,求证:PC平面 BDQ. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明:连接AC交BD于O,连接QO. 四边形ABCD是平行四边形, O为AC的中点 又Q为PA的中点, QOPC. 显然QO平面BDQ,PC平面BDQ, PC平面BDQ. 讲一讲 2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1, C1D1的中点求证:平面AMN平面EFDB. 尝试解答
4、 证明:如图所示,连接MF. M,F分别是A1B1,C1D1的中点,且四边形A1B1C1D1为正方形, MFA1D1且MFA1D1. 又A1D1AD且ADA1D1, MFAD且MFAD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四边形AMFD是平行四边形 AMDF. 又DF平面EFDB,AM平面EFDB, AM平面EFDB. 同理可证,AN平面EFDB. 又AN,AM平面AMN,AMANA, 平面AMN平面EFDB. 平面平行的判定方法: (1)利用定义,证面面无公共点 (2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行,即证明一个平面内的两条相交直线 平行于另一个平面,如本题 (3)若一个平面
5、内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则两个平 面平行 练一练 2如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1,D是BC上一点,且A1B平面AC1D,D1是B1C1 的中点 求证:平面A1BD1平面AC1D. 证明:连接A1C交AC1于点E, 四边形A1ACC1是平行四边形, E是A1C的中点连接ED, ED是A1BC的中位线, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 EDA1B. ED平面A1BD1,A1B 平面A1BD1, ED平面A1BD1. C1D1BD, 四边形BDC1D1是平行四边形, C1DBD1. C1D平面A1BD1,BD1平面A1BD1, C1D平面A1BD1.
6、C1DEDD, 平面A1BD1平面AC1D. 讲一讲 3.如图所示,B为ACD所在平面外一点,且BABCBD,M,N,G分别为ABC, ABD,BCD的重心 (1)求证:平面MNG平面ACD; (2)求SMNGSADC. 尝试解答 (1)证明:如图连接BM,BN,BG并延长交AC,AD,CD于P,F,H. M,N,G分别为ABC,ABD,BCD的重心, 则有 BM MP BN NF BG GH 2,连接PF,FH,PH, 有MNPF.又PF 平面ACD,MN 平面ACD,MN平面ACD, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 同理MG平面ACD,MGMNM, 平面MNG平面ACD. (2)
7、由(1)可知: MG PH BG BH 2 3, MG 2 3PH. 又PH 1 2AD ,MG 1 3AD . 同理NG 1 3AC, MN 1 3CD, MNGACD,其相似比为13,故SMNGSADC19. 证明面面平行,转化为证明线面平行,而要证线面平行,转化为证明线线平行在立体 几何中,通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化,使问题顺利得到解决熟练掌握这 种转化的思想方法,就能找到解题的突破口这是高考重点考查证明平行的方法,应引起重 视 练一练 3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,Q 是CC1的中点,判断并证明平面D1BQ与平面P
8、AO的位置关系 解:平面D1BQ平面PAO.下面给出证明 Q为CC1的中点,P为DD1的中点,QBPA. QB 平面PAO,PA平面PAO,QB平面PAO. P,O分别为DD1,DB的中点,D1BPO. D1B 平面PAO,PO 平面PAO,D1B平面PAO. 又D1BQBB,平面D1BQ平面PAO. 如右图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,MAD1, NBD,且D1MDN,求证:MN平面CC1D1D. 证明 法一:连AN并延长交DC于E.连接D1、E. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABCD, AN NE BN ND ? AE NE BD ND . BDAD1,且D1MDN
9、, AE EN AD1 MD1. 在AD1E中,MND1E, 又MN平面CC1D1D,D1E 平面CC1D1D, MN平面CC1D1D. 尝试用另外一种方法解题 法二:过点M作MPAD,交DD1于P, 过点N作NQAD交CD于点Q,连接PQ, 则MPNQ, 在D1AD中, MP AD D1M D1A . NQAD,ADBC, NQBC. 在DBC中, NQ BC DN DB , D1MDN,D1ADB,ADBC,NQMP. 四边形MNQP为平行四边形,则MNPQ. 而MN 平面CC1D1D,PQ 平面CC1D1D, MN平面CC1D1D. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1在以下说法
10、中,正确的个数是( ) 平面内有两条直线和平面平行,那么这两个平面平行;平面内有无数条直线和 平面平行,则与平行;平面内ABC的三个顶点到平面的距离相等,则与平行 A 0 B1 C 2 D3 解析:选A 对,当内的两直线平行时,与也可能相交,故错误;对,当 内有无数条直线和平行时,与也可能相交,故错误;对,若A,B,C三点在两侧 时,与相交,故错误 2能保证直线a与平面平行的条件是( ) Ab,ab Bb,c,ab,ac Cb,A,Ba,C,Db,且ACBD Da,b,ab 解析:选 D A 项和 B 项中a有可能在内,C 项中,a可能在内,也可能与相交, D 项中,a. 3若M,N分别是AB
11、C边AB,AC的中点,MN与过直线BC的平面的位置关系是 ( ) AMN BMN与相交或MN CMN或MN DMN或MN与相交或MN 解析:选 C 当平面与平面ABC重合时,有MN ; 当平面与平面ABC不重合时, 则平面ABCBC. M,N分别为AB,AC的中点,MNBC. 又MN,BC,MN. 综上有MN或MN . 4六棱柱的表面中,互相平行的面最多有_对 解析:如图,当六棱柱的底面为正六边形时,互相平行的平面最多有4 对,每组对边所 在的平面平行,且上下底面平行 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: 4 5若直线a直线bA,a平面,则b与的位置关系是_ 解析:a,a与平面没有
12、公共点, 若b,则A,又Aa,此种情况不可能 b或b与相交 答案:b或b与相交 6如图E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点, 求证: (1)GE平面BB1D1D; (2)平面BDF平面B1D1H. 证明: (1)取B1D1中点O,连接GO,OB, 易证OGB1C1, 且OG 1 2B 1C1,BEB1C1, 且BE 1 2B 1C1, OGBE且OGBE,四边形BEGO为平行四边形,OBGE. OB 平面BB1D1D, GE 平面BB1D1D, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 GE平面BB1D1D. (2)由正方体性质得B1D1
13、BD, B1D1 平面BDF,BD 平面BDF, B1D1平面BDF,连接HB,D1F, 易证HBFD1是平行四边形,得HD1BF. HD1 平面BDF,BF 平面BDF, HD1平面BDF, B1D1HD1D1, 平面BDF平面B1D1H. 一、选择题 1已知b是平面外的一条直线,下列条件中,可得出b的是 ( ) Ab与内的一条直线不相交 Bb与内的两条直线不相交 Cb与内的无数条直线不相交 Db与内的所有直线不相交 解析:选 D 若b与内的所有直线不相交,即b与无公共点,故b. 2空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点, 若AEEBCFFB1 3, 则对角线AC和平面DEF的关
14、系是 ( ) A平行B相交 C在平面内D平行或相交 解析:选 A 如图所示, 在平面ABC内, 因为AEEBCFFB13, 所以ACEF. 又因为AC 平面DEF,EF 平面DEF, 所以AC平面DEF. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,下列判断正确的是( ) A平面BME平面ACN BAFCN CBM平面EFD DBE与AN相交 解析:选 A 作出如图所示的正方体易知ANBM,ACEM,且ANACA,所 以平面ACN平面BEM. 4已知m,n表示两条直线,表示平面,下列结论中正确的个数是( ) 若m,n,mn,则;若m,n相交且都在,外
15、,且m,m ,n,n,则;若m,m,则;若m,n,且mn,则 A 1 B2 C3 D4 解析:选 A 仅满足m,n,mn,不能得出,不正确;设m,n确定 平面为,则有,从而,正确;均不满足两个平面平行的条件,故 均不正确 5在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1上的动点,则直线MD与平面A1ACC1 的位置关系是 ( ) A平行B相交 C在平面内D 相交或平行 解析:选 D 当M与D1重合时,DD1A1A,DD1面AA1C1C,AA1面AA1C1C, MD面AA1C1C.当M不与D1重合时,DM与AA1相交,也即DM与面AA1C1C相交 二、填空题 6点E,F,G,H分别是空间四
16、边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是_ 解析:由线面平行的判定定理知:BD平面EFGH,AC平面EFGH. 答案: 2 7三棱锥S-ABC中,G为ABC的重心,E在棱SA上,且AE2ES,则EG与平面 SBC的关系为 _ 解析:如图,取BC中点F,连SF. G为ABC的重心, A,G,F共线且AG2GF. 又AE2ES,EGSF. 又SF 平面SBC,EG平面SBC, EG平面SBC. 答案:EG平面SBC 8如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,
17、D1D,CD 的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足 _时,有 MN平面B1BDD1. 解析:HNBD,HFDD1,HNHFH,BDDD1D, 平面NHF平面B1BDD1,故线段FH上任意点M与N连接, 有MN平面B1BDD1. 答案:M线段FH 三、解答题 9已知:ABC中,ACB90,D,E分别为AC,AB的中点,沿DE将ADE 折起,使A到A的位置,M是AB的中点,求证:ME平面ACD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明:如图所示,取AC的中点G,连接MG,GD, M,G分别是AB,AC的中点,MG 1 2BC , 同理DE 1 2BC, MGD
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- 高中数学 第一章 1.5 平行 关系学 北师大 必修
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