高中数学第一章1.6微积分基本定理学案含解析新人教A版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.6 微积分基本定理 微积分基本定理 已知函数f(x)2x1,F(x)x2x. 问题 1:f(x) 和F(x)有何关系? 提示:F(x)f(x) 问题 2:利用定积分的几何意义求 0 2 (2x1)dx的值 提示: 0 2 (2x1)dx 6. 问题 3:求F(2)F(0)的值 提示:F(2)F(0)606. 问题 4: 0 2(2x1)dx 与F(2)F(0)有什么关系? 提示: 0 2f (x)dxF(2)F(0) 1微积分基本定理 内容 如果f(x)是区间上的连续函数,并且F(x)f(x),那么 a bf(x)dxF(b) F(a) 符号 a
2、 bf(x)dx F(x) b a F(b)F(a) 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S上,在 x 轴下方的面积为S下则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时,如图,则 a bf(x) dxS上 (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时,如图,则 a bf xdx S 下 (3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、 x 轴下方均存在时,如图,则 a bf(x)dx S 上S下; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若 S上S下,则 a bf xdx0. (1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系,揭示了被积函数与函数的导函数之间 的互逆运算关系, 为计算定积分提供了
3、一个简单有效的方法转化为计算函数F(x)在积分 区间上的增量 (2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x),再计算F(b) F(a) (3)利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简被积函数,再求定积分 求简单函数的定积分 求下列定积分: (1) 1 2(x22x 3)dx; (2) 0 (cos xe x)dx; (3) 2 0 sin 2x 2dx. (1) 1 2 (x2 2x3)dx 1 2x2dx 1 22xdx 1 23dx x3 3 2 1 x2 2 1 3x 2 1 25 3 . (2) 0 (cos xe x)dx 0 cos xdx 0 e x
4、dx sin x 0 e x 0 1 e 1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)sin 2x 2 1cos x 2 , 而 1 2x 1 2sin x 1 2 1 2cos x, 2 0 sin2x 2dx 2 0 1 2 1 2cos x dx 1 2x 1 2sin x 2 0 4 1 2 2 4 . 由微积分基本定理求定积分的步骤 当被积函数为两个函数的乘积时,一般要转化为和的形式,便于求得函数F(x),再计算 定积分,具体步骤如下 第一步:求被积函数f(x)的一个原函数F(x); 第二步:计算函数的增量F(b) F(a) 计算下列定积分: (1) 1 2 e x1 x
5、dx; (2) 1 9 x(1x)dx; (3) 6 6 (sin x2x)dx. 解: (1)因为 (e x ln x)e x1 x, 所以 1 2 e x 1 x dx(exln x)21e 2 ln 2e. (2)因为x(1x)xx, 1 2x 2 2 3x 3 2 xx, 所以 1 9 x(1x)dx 1 9(x x)dx 1 2 x2 2 3x 3 2 9 1 172 3 . (3)法一:因为 (cos xx2)sin x2x, 所以 6 6 (sin x2x)dx(cos xx2) 6 60. 法二:令 f(x)sin x2x,因为函数f(x)sin x2x 为奇函数,所以f(x)
6、sin x2x 的图 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 象关于原点对称,即曲线yf(x)位于 x 轴上方的图形面积与位于x 轴下方的图形面积相等, 故由定积分的几何意义可得,所求定积分为0. 求分段函数的定积分 已知f(x) 4x2, 0x 2, cos x, 2 x, 计算 0 f(x)dx. 0 f(x)dx 2 0 f(x)dx 2 f(x)dx 2 0 (4x2 )dx 2 cos xdx. 取F1(x)2x22x,则F1(x) 4x2; 取F2(x)sin x,则F2(x)cos x. 所以 2 0 (4x2 )dx 2 cos xdx (2x22x) 2 0 sin x 2
7、 1 2 21, 即 0 f(x)dx 1 2 21. 分段函数的定积分的求法 (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同,所以被积函数是分段函数时,常常利用定 积分的性质,转化为各区间上定积分的和计算 (2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数的定积分再计算 计算定积分 04| x 3|dx. 解:因为f(x)|x3| x3,x 3, x3,x 3, 所以 4 0 |x3|dx 4 3( x 3)dx 3 0 (x3)dx 1 2x 23x3 4 1 2x 23x0 3 5. 利用定积分求参数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设函数f(x)ax 2 c(a0),若
8、 0 1f(x)dxf (x0),0x01,求x0的值 因为f(x)ax 2c(a 0),且 a 3x 3 cxax 2c, 所以 0 1f(x)dx 0 1(ax2c)dx a 3 x3cx 1 0 a 3 cax 2 0c, 解得x0 3 3 或x0 3 3 (舍去 ) 即x0的值为 3 3 . 利用定积分求参数应注意的问题 利用定积分求参数时,注意方程思想的应用一般地, 首先要弄清楚积分变量和被积函 数当被积函数中含有参数时,必须分清常数和变量,再进行计算,其次要注意积分下限小 于积分上限 已知f(x)是二次函数,其图象过点(1,0),且f(0)2, 0 1f(x)dx 0,求 f(x)
9、的解析式 解:设f(x)ax 2bx c(a0), abc0. f(x) 2axb, f(0)b2. 0 1f(x)dx 0 1(ax2 bxc)dx 1 3ax 3 1 2bx 2 cx 1 0 1 3 a 1 2b c0. 由得 a 3 2, b2, c 1 2, f(x) 3 2x 22x 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.定积分的计算 计算 1 2(2t 3)dx_. 1 2(2t3)dx(2t 3)x21(2t3)2(2t3)12t3. 2t3 1本题的积分变量为x,解决本题易错误地把t当作积分变量,从而造成结论错误 2求定积分是对函数的积分变量而言的,在同一个
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