高中数学第一章1.7学案北师大版必修556.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 1 课时柱、锥、台的侧面展开与面积 核心必知 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 几何体侧面展开图的形状侧面积公式 圆柱矩形S圆柱侧 2rl 圆锥扇形S圆锥侧rl 圆台扇环S圆台侧 (r1r2)l 其中r为底面半径,l为侧面母线长,r1,r2分别为圆台的上,下底面半径 2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 几何体侧面积公式 直棱柱S直棱柱侧ch 正棱锥S正棱锥侧 1 2c h 正棱台S正棱台侧 1 2(c c )h 其中c,c分别表示上,下底面周长,h表示高,h表示斜高 问题思考 1一个几何体的平面展开图一定相同吗?其表面积是否确定? 提示:
2、 不同的展开方式,几何体的展开图不一定相同表面积是各个面的面积和,几何 体的侧面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定 2柱体、锥体、台体之间有如下关系: 那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系? 提示:根据以上关系,在台体的侧面积公式中,令cc,可以得到柱体的侧面积公 式,令c 0,可得到锥体的侧面积公式,其关系如下所示: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 S柱侧chcc,S台侧 1 2(c c)h c 0S 锥侧 1 2ch . 3棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗? 提示: 不一定 由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形,此平行 四边形的一边为棱柱的底
3、面周长,另一边长为棱柱的侧棱长,但此平行四边形若不是矩形, 则它的面积并不等于这两边长的乘积,所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的 乘积,只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积 讲一讲 1(1)圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形,则圆柱的表面积为( ) A 6 (4 3) B8 (3 1) C6 (4 3)或 8 (3 1) D 6 (4 1)或 8 (3 2) (2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分,则这两部分侧面积的比为( ) A 11 B12 C13 D14 尝试解答 (1)选 C 圆柱的侧面积S侧6 4 24 2.以边长为 6的边为轴时, 4 为圆柱底面周长, 则
4、2r4, 即r2, S底4,S全S侧 2S底24 28 8 (3 1) 以边长为4的边为轴时, 6为圆柱底面周长,则2r6,即r 3,S底9,S全S侧 2S底24 218 6 (4 3) (2)选 C 如图所示,PB为圆锥的母线,O1,O2分别为截面与底面的圆心O1为PO2 的中点, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 PO1 PO2 PA PB O1A O2B 1 2, PAAB,O2B2O1A. S圆锥侧 1 22 O1APA, S圆台侧 1 22 (O 1AO2B)AB, S圆锥侧 S圆台侧 O1APA O1AO2BAB 1 3. 1求柱、锥、台的表面积(或全面积 )就是求它们的侧
5、面积和(上、下 )底面积之和 2求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台,再通过这些基 本柱、锥、台的表面积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积 练一练 1圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和 20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180,那么圆台的表面积是多少? 解:如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180, 故cSA2 10, 所以SA20(cm), 同理可得SB40(cm), 所以ABSBSA20(cm), 所以S表面积S侧S上S下 (r1r2)ABr2 1r 2 2 (1020)20 102 202 1 100 (cm2)故圆台的表面积
6、为1 100cm2. 讲一讲 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别是8 cm 和 18 cm,侧面是全等的等腰 梯形,侧棱长是13 cm,求它的侧面积 尝试解答 如图是五棱台的其中一个侧面,它是一个上底、 下底分别为8 cm 和 18 cm, 腰长为 13 cm 的等腰梯形,由点A向BC作垂线,设垂足为E,由点D向BC作垂线,设垂 足为F,易知BECF. BEEFFC2BFADBC, BF BCAD 2 188 2 13.BEBFAD1385. 又AB 13,AE12. S四边形 ABCD 1 2 (ADBC)AE 1 2(188) 12156(
7、cm 2) 故其侧面积为156 5780(cm2) 要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积,需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、 台体的侧面积及表面积公式所需条件,然后应用公式进行解答 练一练 2已知正三棱锥V-ABC的主视图,俯视图如图所示,其中VA4,AC23,求该 三棱锥的表面积 解:由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图,且VAVBVC4, ABBCAC23, 取BC的中点D,连接VD, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则VDVB2BD2423 2 13, SVBC 1 2 VDBC 1 2 13 2339, SABC 1 2(2 3)2 3 2 33, 三棱锥V-ABC的
8、表面积为 3SVBCSABC339333(393). 讲一讲 3已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其内部有一个高为x的内接圆柱 (1)求圆柱的侧面积; (2)x为何值时,圆柱的侧面积最大? 尝试解答 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图 (1)设所求圆柱的底面半径为r, 则 r R Hx H ,rR R H x, S圆柱侧2rx2Rx 2R H x2. (2)S圆柱侧是关于x的二次函数, 当x 2R 2 2R H H 2 时,S圆柱侧有最大值, 即当圆柱的高是圆锥的高的一半时,它的侧面积最大 解决组合体的表面积问题,要充分考虑组合体各部分的量之间的关系,将其转化为简单 多面体与旋转体的表面积问题
9、进行求解 练一练 3已知底面半径为3 cm,母线长为6 cm 的圆柱,挖去一个以圆柱上底面圆心为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 顶点,下底面为底面的圆锥,求所得几何体的表面积 解:如图,由题意易知圆锥的母线长为3 cm. 则SS底S柱侧S圆锥侧 (3)22 3633 (36233) (cm2) 如图所示,圆柱OO的底面半径为2 cm,高为 4 cm,点P为母线BB的中点, AOB 2 3,试求一蚂蚁从 A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程 巧思 将圆柱的侧面展开,将A、P两点转化到同一个平面上解决 妙解 将圆柱侧面沿母线AA剪开展平为平面图,如图,则易知最短路径为平面图 中线段AP.
10、在 RtABP中,AB 2 3 2 4 3 (cm), PB2(cm), APAB 2 BP2 2 3 4 29(cm) 故蚂蚁爬的最短路程为 2 3 4 29 cm. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1矩形的边长分别为1 和 2,分别以这两边为轴旋转,所形成的几何体的侧面积之比 为( ) A 12 B11 C14 D 4 1 解析:选 B 以边长为1 的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积 S1 2 2 14, 以边长为 2 的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S22 124, S1S24 4 11. 2一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32, 则母线长为 ( ) A 2 B
11、22 C4 D8 解析:选 C 设圆台的母线长为l,上、下底面半径分别为r,R, 则l 1 2(r R) 又 32(rR)l2l2, l216, l4. 3(北京高考 )某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( ) A 2865 B 3065 C56125 D 60125 解析:选 B 由题中的三视图知,该三棱锥的立体图形如图所示 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由题中所给条件,可求得SABD 1 24510, SACDSBCD 1 24510, ACBC41, AB25, 可求得ABC中AB边上的高为4156, 所以SABC 1 2 62565. 综上可知,该三棱锥的表面积为
12、SABDSACDSBCDSABC3065. 4圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆,则圆锥的高是_ 解析:设底面半径是r,则 2rR, r R 2 ,圆锥的高hR2r 2 3 2 R. 答案: 3 2 R 5若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示,则其表面积等于_ 解析:根据题意可知,该棱柱的底面边长为2,高为 1,侧棱和底面垂直,故其表面积 S 3 4 222213 623. 答案: 623 6.一个几何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为1 的平行四边形,左视图是一 个长为3,宽为1 的矩形,俯视图为两个边长为2 的正方形拼成的矩形求该几何体的表 面积S. 解:由三视图可知,该平行六面
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- 高中数学 第一章 1.7 北师大 必修 556
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