高中数学第一章1.7简单几何体的面积和体积1.7.3球学案北师大版必修47.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7.3 球 1.了解球的体积和表面积公式.(重点 ) 2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点 ) 基础初探 教材整理球 阅读教材 P48“7.3 球”一节至P49“例 6”以上部分,完成下列问题. 1.球的体积:球的半径为R,那么它的体积V 球 4 3 R3. 2.球的表面积:球的半径为R,那么它的表面积S球面4R2. 判断 (正确的打“” ,错误的打“”) (1)直径为d的球的表面积S4d2.( ) (2)若球的表面积扩大为原来的16倍,则球的半径扩大为原来的4 倍.( ) (3)若球的半径变为原来的2倍,则球的体积变为原来的4 倍.(
2、 ) 【答案】(1)(2)(3) 小组合作型 球的表面积与体积的计算 已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于3,且ACBC2, AB2,求球面面积与球的体积. 【精彩点拨】利用已知条件, 结合球心与截面圆心连线垂直于截面而构成的直角三角 形,求出半径,从而求出球的体积与表面积. 【自主解答】如图所示,设球心为O,球半径为R,作OO1平面ABC于O1,由于 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OAOBOCR,则O1是ABC的外心 . 由ACBC2,AB 2,知ABC是AB为斜边的直角三角形, O1是AB的中点,在RtAOO1中,OO13,O1A 1 2AB1, OA 2,即R 2
3、, S球面4R216,V球 4 3 R3 32 3 . 1.球的表面积和体积只与球的半径有关,因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件 求出球的半径 . 2.在求球的半径时,常用一个平面去截一个球,截面是圆面,球的截 面有下面的性质: (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面; (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d R 2 r2. 再练一题 1.过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为48cm2,试 求此球的表面积和体积. 【解】如图,设截面圆的圆心为O1,则OO1O1A,O1A为截面圆 的半径,OA为球的半径 . 48O1A 2, O1A248.
4、 在 RtAO1O中,OA2O1O 2 O1A 2, 即R2 1 2 R 2 48,R8(cm), S球面4R24 64256 (cm2),V球 4 3 R 3 2 048 3 (cm3). 球的表面积及体积的应用 一个倒立的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水并且放入一 个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是 多少? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【导学号: 39292055】 【精彩点拨】设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,由水面下降后减少的 体积来建立一个关系式来解决. 【自主解答】设PAB所在平面为轴截面,AB
5、为水平面,设球未取 出时,水面高PCh,球取出后水面高PHx,如图所示 . AC3r,PC3r, 以AB为底面直径的圆锥的容积为 V圆锥 1 3 AC2PC 1 3 ( 3r)23r3r3,V球 4 3 r3. 球取出后水面下降到EF,水的体积为 V水 1 3 EH2PH 1 3 (PHtan 30) 2PH 1 9 x3. 而V水V圆锥V球, 即 1 9 x33r3 4 3 r3,x 3 15r. 故球取出后水面的高为 3 15r. 1.画出截面图是解答本题的关键. 2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中, 要分清涉及的是体积问题还是 表面积问题,然后再利用等量关系进行计算.
6、再练一题 2.圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm,两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水 中,若取出这两个小球,则容器的水面将下降多少? 【解】设取出小球后, 容器中水面下降h cm,两个小球的体积为V球2 4 3 5 2 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 125 3 ,此体积即等于它们在容器中排出水的体积V 52h, 所以 125 3 52h,所以h 5 3(cm), 即若取出这两个小球,则容器的水面将下降 5 3 cm. 探究共研型 与球有关的切、接问题 探究 1 一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少? 【提示】设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径为 1 2
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