高中数学第一章1任意角的三角函数第一课时三角函数的定义学案含解析新人教A版必修0.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2.1 任意角的三角函数 第一课时三角函数的定义 任意角的三角函数的定义 提出问题 使锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P,PM x轴于M,设P(x,y),|OP| r. 问题 1:角的正弦、余弦、正切分别等于什么? 提示: sin y r ,cos x r ,tan y x. 问题 2:对于确定的角,sin ,cos ,tan 是否随P点在终边上的位置的改变而改变? 提示:否 问题 3:若 |OP| 1,则P点的轨迹是什么?这样表示sin ,cos ,tan 有何优点? 提示:P点的轨迹是以原点O为圆心,以1 为
2、半径的单位圆,即P点是单位圆与角终边 的交点,在单位圆中定义sin ,cos ,tan 更简便 导入新知 1任意角三角函数的定义 (1)单位圆:在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆 (2)单位圆中任意角的三角函数的定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么y叫做的正弦,记作sin ,即 sin y;x叫做的余弦,记作cos ,即 cos x; y x叫做 的正切,记作tan ,即 tan y x(x 0). 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 数,它们
3、统称为三角函数 化解疑难 对三角函数定义的理解 (1)三角函数是一种函数,它满足函数的定义,可以看成是从角的集合(弧度制 )到一个比值 的集合的对应 (2)三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围 (3)三角函数是比值,是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只 由角的终边位置决定,即三角函数值的大小只与角有关. 三角函数值的符号 提出问题 问题 1:若角是第二象限角,则它的正弦、余弦和正切值的符号分别怎样? 提示:若角为第二象限角,则x0,y0, sin 0,cos 0, tan 0. 问题 2:当角是第四象限角时,它的正弦、余弦和正切值的
4、符号分别怎样? 提示: sin 0,cos 0,tan 0. 问题 3:取角分别为 30, 390, 330,它们的三角函数值是什么关系?为什么? 提示:相等因为它们的终边重合 问题 4:取90, 90时,它们的正切值存在吗? 提示:不存在 导入新知 1三角函数的定义域 三角函数定义域 sin R cos R tan 2 k,kZ 2三角函数值的符号 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 化解疑难 巧记三角函数值的符号 三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”即第一象限 各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有 余弦值为正
5、. 诱导公式一 提出问题 问题:若角与的终边相同, 根据三角函数的定义,你认为sin 与 sin ,cos 与 cos , tan 与 tan 之间有什么关系? 提示: sin sin ,cos cos ,tan tan . 导入新知 终边相同的角的同一三角函数的值 (1)终边相同的角的同一三角函数的值相等 (2)公式: sin(k2 )sin_, cos(k2 )cos_, tan(k2 )tan_,其中k Z. 化解疑难 诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同,左边角为k2,右边角为. (2)由公式一可知,三角函数值有“周而复始”的变化规律,即角的终边每绕原点旋转一 周,函数值
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