高中数学第一章1学案含解析新人教A版选修209.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时几个常用函数的导数、 基本初等函数的导数公式及导数的 运算法则 基本初等函数的导数公式 已知函数: (1)yf(x)c;(2)yf(x)x;(3)yf(x)x2;(4)yf(x) 1 x;(5)y f(x)x. 问题 1:函数yf(x)c的导数是什么? 提示: y x fxxfx x cc x 0, y li m x0 y x0. 问题 2:函数 (2)(3)(4)(5)的导数分别是什么? 提示:由导数的定义得(2)(x) 1,(3)(x2) 2x,(4) 1 x 1 x2,(5)( x) 1 2x . 问题 3:若 (1)(2)中的函数表示
2、路程关于时间的函数,则其导数的意义是什么? 提示:y 0 说明某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态;y 1 可以解释 为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动 问题 4:函数 (2)(3)(5)均可表示为yx(Q *)的形式,其导数有何规律? 提示: (2)(x) 1x11, (3)(x2) 2x21, (5)(x) (x 1 2 ) 1 2 x 1 1 2 1 2x , (x) x 1. 基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)c(c为常数 )f(x)0 f(x)x(Q *) f(x) x 1 f(x)sin x f(x)cos_x f(x)cos x f(x) sin_x 积一时之
3、跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x)a x f (x)a xln_a f(x)e x f(x)e x f(x)logax f(x) 1 xln a f(x)ln x f(x)1 x 对公式 (logax) 1 xln a 与(a x) axln a的理解和记忆 (1)区分公式的结构特征,从纵的方面“(ln x)与 (logax)”和“ (e x)与 (ax)”的区分, 又要从横的方面“(logax)与 (a x)”的区分找出差异,记忆公式 (2)对公式 (logax),用 (ln x)和复合函数求导法则证明来帮助记忆,即求证对数函数导 数公式 (logax) 1 xlog ae. 证明如
4、下: (logax) ln x ln a 1 ln a 1 x 1 xlog ae. 这样就能知道logae 的来历,对于记忆和区分很有必要. 导数运算法则 已知f(x)x,g(x) 1 x. 问题 1:f(x),g(x)的导数分别是什么? 提示:f (x)1,g(x) 1 x2. 问题 2:试求Q(x)x 1 x, H(x)x 1 x的导数 提示:y(xx) 1 xx x 1 x x x xxx , y x1 1 xxx , Q(x)li m x0 y x li m x 0 1 1 xxx 1 1 x2. 同理H(x) 1 1 x2. 问题 3:Q(x),H(x)的导数与f(x),g(x)的
5、导数有何关系? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示:Q(x)的导数等于f(x),g(x)的导数的和,H(x)的导数等于f(x),g(x)的导数的差 问题 4:f(x)g(x)对吗? 提示:不对,因为f(x)g(x)1, 0,而f(x)g(x)1 1 x2 1 x2. 导数运算法则 1f(x)g(x); 2f(x)g(x)f(x)g(x); 3. fx gx fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 导数的运算法则的认识 1在两个函数积与商的导数运算中,不能认为f (x)g (x)以及 fx gx fx gx . 2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“”,
6、而商 的导数公式中分子上是“” 3(1)f1 (x)f2(x)fn(x); (2)cf(x),也就是说,常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数 利用导数公式直接求导 求下列函数的导数: (1)y10x;(2)ylg x; (3)ylog 1 2 x; (4)y 4 x3; (5)y sin x 2cos x 2 21. (1)y (10 x) 10xln 10; (2)y (lg x) 1 xln 10; (3)y (log 1 2x) 1 xln 1 2 1 xln 2; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (4)y (4x3) (x 3 4) 3 4x 1 4 3 4 4 x ;
7、(5)y sin x 2cos x 2 2 1 sin 2x 22sin x 2cos x 2 cos 2x 21 sin x, y (sin x) cos x. 应用求导公式应注意的问题 求函数的导数, 一般不再用定义,而主要应用导数公式,这就要求必须熟记常见的求导 公式,应用公式时一般遵循“先化简,再求导”的基本原则在实施化简时,首先要注意化 简的等价性,避免不必要的运算失误 求下列函数的导数: (1)y 1 e x;(2)y 1 10 x; (3)ylg 5;(4)y3lg3x; (5)y2cos 2x 2 1. 解: (1)y 1 e x 1 e xln1 e 1 e x e x; (
8、2)y 1 10 x 1 10 xln 1 10 ln 10 10 x 10 xln 10; (3)y lg 5是常数函数, y (lg 5) 0; (4)y 3lg3xlg x, y (lg x) 1 xln 10; (5)y 2cos 2x 2 1cos x, y (cos x) sin x. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 利用导数的运算法则求函数的导数 求下列函数的导数: (1)yx3e x;(2)y xsin x 2cos x 2; (3)yx2log3x;(4)y e x 1 e x 1. (1)y (x3)exx3(e x) 3x2exx3exx2(3x)ex. (2)
9、yx 1 2sin x, yx 1 2(sin x) 1 1 2cos x. (3)y (x2log3x) (x2) (log3x) 2x 1 xln 3. (4)y e x1 e x 1 e x1 ex1 e x12 e x e x1 e x 1 ex ex1 2 2e x e x12. 利用运算法则求导数的方法 对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式在不宜直接 应用导数公式时,应先对函数进行化简,然后求导这样可以减少运算量,优化解题过程 求下列函数的导数: (1)y cos x x ;(2)yxsin xx; (3)y 1x 1x 1x 1x ;(4)ylg x
10、1 x2. 解: (1)y cos x x cos xxcos xx x2 x sin xcos x x2 xsin xcos x x2 . (2)y (xsin x) (x) sin xxcos x 1 2x . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)y 1x 2 1x 1x 2 1x 22x 1x 4 1x2, y 4 1x2 41x 1x 2 4 1x 2. (4)ylg x 1 x2 (lg x) 1 x2 1 xln 10 2 x3. 导数几何意义的应用 (1)(广东高考 )曲线y 5e x3 在点 (0, 2)处的切线方程为 _ (2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线
11、C:yx310x13上,且在第一象限内,已 知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 _ (1)y 5e x,所求曲线的切线斜率 ky|x0 5e 0 5, 切线方程为y(2) 5(x 0),即 5xy2 0. (2)设点P的坐标为 (x0,y0),因为y 3x2 10,所以 3x2 0102,解得x0 2.又点P 在第一象限内,所以x02.又点P在曲线C上,所以y02 3102131,所以点 P的坐 标为 (2,1) 答案: (1)5xy20 (2)(2,1) 导数几何意义的应用 根据导数的几何意义,可直接得到曲线上一点处的切线的斜率需注意直线与曲线公共 点的个数不是切线的本质特征当
12、问题中涉及相切但未出现切点坐标时,要设出切点坐标, 然后根据已知条件求出切点坐标 若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx 1 在交点 (0,m)处有公切线,则ab _. 解析:f (x)asin x,g(x)2xb, 曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1 在交点 (0,m)处有公切线, f(0)ag(0)1,且f (0)0g(0)b, ab1. 答案: 1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.切线方程的求法 已知aR, 函数f(x)x33x23ax3a3, 求曲线yf(x)在点 (1,f(1)处的切线方程 由已知得f(x)3x26x3a, 故f (1)3 63a
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