高中数学第一章3全称量词与存在量词学案北师大版选修96.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 全称量词与存在量词 对应学生用书 P8 全称量词与全称命题 在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉 满全城 我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸我对各位表示热诚 欢迎! ”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人可是,有一天,这位 理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸 呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他 给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸 这就是著名的“罗素理发师悖
2、论”问题 问题 1:文中理发师说: “我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”对“所有的”这一词 语,你还能用其他词语代替吗? 提示:任意一个,全部,每个 问题 2:上述词语都有什么含义? 提示:表示某个范围内的整体或全部 全称量词与全称命题 (1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条” “一切”都是在指定范围内,表示整体或全 部的含义,这样的词叫作全称量词 (2)含有全称量词的命题,叫作全称命题. 存在量词与特称命题 观察语句: 存在一个xR,使 3x1 5; 至少有一个xZ,x能被 2 和 3 整除 问题 1:是命题吗?若是命题,判断其真假 提示:是,都为真命题 问题 2:中的“存在一个”、 “
3、至少有一个”有什么含义? 提示:表示总体中“个别”或“一部分” 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 问题 3:你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗? 提示:某些,有的,有些 存在量词与特称命题 (1)“有些”“至少有一个” “有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词 叫作存在量词 (2)含有存在量词的命题,叫作特称命题. 全称命题与特称命题的否定 观察下列命题: 被 7 整除的整数是奇数; 有的函数是偶函数; 至少有一个三角形没有外接圆 问题 1:命题的否定: “被 7 整除的整数不是奇数”对吗? 提示:不对,命题是省略了量词“所有”的全称命题,其否定应为“存在被7 整
4、除的 整数不都是奇数” 问题 2:命题的否定: “有的函数不是偶函数”对吗? 提示:不对,应为每一个函数都不是偶函数 问题 3:判断命题的否定的真假 提示:命题的否定:所有的三角形都有外接圆,是真命题 全称命题与特称命题的否定 全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题 1判断一个命题是全称命题还是特称命题时,首先要分析命题中含有的量词,含有全 称量词的是全称命题,含有存在量词的是特称命题 2要说明一个全称命题是错误的,只需找出一个反例即可,实际上就是说明这个全称 命题的否定是正确的;要说明一个特称命题是错误的,就要说明所有的对象都不满足这一性 质,即说明这个特称命题的否定是正确的 积
5、一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书 P9 全称命题与特称命题的判断 例 1 判断下列命题哪些是全称命题,哪些是特称命题 (1)对任意xR,x20; (2)有些无理数的平方也是无理数; (3)正四面体的各面都是正三角形; (4)存在x1,使方程x2x20; (5)对任意xx|x1,3x40 成立; (6)存在a1 且b2,使ab3 成立 思路点拨 先观察命题中所含的量词,根据量词的意义来判断命题的类别不含量词 的命题要注意结合命题的语境进行分析 精解详析 (1)(5)含全称量词“任意” ,(3)虽不含有量词,但其本义是所有正四面体的 各面都是正三角形故(1)(3)(5)为全称命
6、题; (2)(4)(6)为特称命题,分别含有存在量词“有些”、 “存在”、 “存在” 一点通 判断一个命题是全称命题还是特称命题时,需要注意以下两点: (1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词; (2)若命题中不含有量词,则要根据命题的实际意义进行判断 1下列命题为特称命题的是( ) A奇函数的图像关于原点对称 B正四棱柱都是平行六面体 C棱锥仅有一个底面 D存在大于等于3 的实数x,使x22x30 解析: A,B,C 中命题都省略了全称量词“所有”,所以A,B,C 都是全称命题;D 中命题含有存在量词“存在”,所以 D 是特称命题,故选D. 答案: D 2下列命题中,全
7、称命题的个数是( ) 任意一个自然数都是正整数; 所有的素数都是奇数; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 有的等差数列也是等比数列; 三角形的内角和是180. A 0个B1 个 C2 个D3 个 解析:命题含有全称量词,而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是 180” ,故有三个全称命题 答案: D 全称命题与特称命题的真假判断 例 2 指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断其真假 (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点; (2)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (3)对任意实数x1,x2,若x10.故 B 为假命题 答案: B 4判断下列命
8、题的真假,并说明理由: (1)对任意xR,都有x2x1 1 2成立; (2)存在实数,使 cos()cos cos 成立; (3)对任意x,yN,都有 (xy)N; (4)存在x,yZ,使2xy 3 成立 解: (1)法一:当x R 时,x2x 1(x 1 2) 2 3 4 3 4 1 2,所以该命题是真命题 法二:x2x 1 1 2 ?x2x 1 20,由于 14 1 2 1 0,所以不等式 x2x1 1 2的解集是 R,所以该命题是真命题 (2)当 4 , 2时, cos( ) cos( 4 2)cos( 4)cos 4 2 2 ,cos cos cos 4 cos 2 2 2 0 2 2
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