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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.2 弧 度 制 角度制与弧度制 提出问题 问题 1:在角度制中,把圆周等分成360份,其中的一份是多少度? 提示: 1. 问题 2:半径为1 的圆的周长是2,即周长为 2时,对应的圆心角是360,那么弧长为 时,对应的圆心角是多少? 提示: 180. 问题 3:在给定半径的圆中,弧长一定时,圆心角确定吗? 提示:确定 导入新知 1角度制与弧度制 (1)角度制 定义:用度作为单位来度量角的单位制 1 度的角:周角的 1 360作为一个单位 (2)弧度制 定义:以弧度作为单位来度量角的单位制 1 弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角 2任意角的
2、弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. 3角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,那么,角的弧度数的绝对值是| l r. 化解疑难 角度制和弧度制的比较 (1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制 (2)1 弧度的角与1 度的角所指含义不同,大小更不同 (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小都是一个与“半径”大小 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 无关的值 (4)用“度”作为单位度量角时,“度” (即“” )不能省略,而用“弧度”作为单位度量 角时,“弧度”二字或“rad”通常省略不写. 角
3、度与弧度的换算 提出问题 问题 1:周角是多少度?是多少弧度? 提示: 360, 2 . 问题 2:半圆所对的圆心角是多少度?是多少弧度? 提示: 180, . 问题 3:既然角度与弧度都是角的度量单位制,那么它们之间如何换算? 提示:180. 导入新知 1弧度与角度的换算 角度化弧度弧度化角度 360 2rad2rad360 180 rad rad180 1 180 rad0.017 45 rad1 rad 180 57.30 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度030456090120135150180 弧度0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 化解疑难 角度与弧度互化的原则和方
4、法 (1)原则:牢记180 rad, 充分利用1 180 rad, 1 rad 180 进行换算 (2)方法: 设一个角的弧度数为,角度数为n, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则rad 180 ;nn 180 rad. 弧度制下的扇形的弧长及面积公式 导入新知 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,(02 )为其圆心角,则 为度数为弧度数 扇形的弧长l R 180 l R 扇形的面积 S R2 360 S 1 2lR 1 2 R 2 化解疑难 扇形的弧长及面积公式的记忆 (1)扇形的弧长公式的实质是角的弧度数的计算公式的变形:| l r? lr|. (2)扇形的面积公式
5、S 1 2lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底,把半径看作高), 可以类比记忆 角度与弧度的换算 例 1 把下列角度化成弧度或弧度化成角度: (1)72; (2)300; (3)2;(4) 2 9 . 解 (1)72 72 180 2 5 ; (2)300 300 180 5 3 ; (3)22 180 360 ; (4) 2 9 2 9 180 40. 类题通法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式 rad180是关键, 由它可以得到: 度数 180 弧度数,弧度数 180 度数 活学活用 已知15, 10, 1,105
6、, 7 12,试比较 ,的大小 答案: 扇形的弧长公式及面积公式的应用 例 2 (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,则扇形的面积为_ cm 2. (2)已知一半径为R的扇形,它的周长等于所在圆的周长,那么扇形的圆心角是多少弧度? 面积是多少? 解 (1)4 (2)设扇形的弧长为l,由题意得2R2Rl,所以l2( 1)R,所以扇形的圆心角是 l R 2( 1), 扇形的面积是 1 2Rl ( 1)R 2. 类题通法 弧度制下涉及扇形问题的攻略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S 1 2lr 1 2 |r2(其中l是扇形的弧长,r是扇形的半径, 是扇形的圆心角) (2)涉及扇形的周长、弧
7、长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪 些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解 注意:运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度 活学活用 已知扇形的周长是30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少? 答案:r 15 2 cm 时,2,扇形面积最大,最大面积为 225 4 cm2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 用弧度制表示角的集合 例 3 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界 )的角的集合 解 (1)如题图, 330角的终边与30角的终边相同,将30化为弧度,即 6, 而
8、 75 75 180 5 12, 终边落在阴影部分内(不包括边界 )的角的集合为2k 6 2k 5 12, k Z. (2)如题图, 30 6,210 7 6 ,这两个角的终边所在的直线相同,因此终边在直线 AB上的角为k 6, kZ, 又终边在y轴上的角为k 2, kZ, 从而终边落在阴影部分内(不包括边界 )的角的集合为 k 6 k 2 ,kZ. 类题通法 用弧度制表示角应关注的三点 (1)用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时需进行角度与 弧度的换算注意单位要统一 (2)在表示角的集合时,可以先写出一周范围(如, 02 )内的角,再加上2k,k Z. (3)终边在
9、同一直线上的角的集合可以合并为x|xk,k Z ;终边在相互垂直的两直 线上的角的集合可以合并为 x x k 2, kZ. 在进行区间合并时,一定要做到准确无误 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 以弧度为单位,写出终边落在直线yx上的角的集合 答案: 3 4 k,kZ 1.弧度制下的对称关系 典例 若角的终边与角 6 的终边关于直线yx对称,且(4, 4 ),则_. 解析 如图所示,设角 6的终边为 OA,OA关于直线yx对称的射线为OB, 则以OB为终边且在0到 2之间的角为 3 , 故以OB为终边的角的集合为 32 k,kZ. (4, 4 ), 4 32k 4 (kZ),
10、 13 6 k 11 6 (k Z) kZ, k 2, 1,0,1, 11 3 , 5 3 , 3, 7 3 . 答案 11 3 , 5 3 , 3, 7 3 多维探究 在弧度制下,常见的对称关系如下 (1)若与的终边关于x轴对称,则2k (kZ); 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)若与的终边关于y轴对称,则 (2k1) (kZ); (3)若与的终边关于原点对称,则(2k1) (kZ); (4)若与的终边在一条直线上,则k (kZ) 活学活用 1若和的终边关于x轴对称,则可以用表示为 ( ) A2k(kZ) B2k(kZ) Ck(kZ) Dk(k Z) 答案: B 2在平面直角
11、坐标系中, 2 3 ,的终边与的终边分别有如下关系时,求. (1)若,的终边关于x轴对称; (2)若,的终边关于y轴对称; (3)若,的终边关于原点对称; (4)若,的终边关于直线xy0 对称 答案: (1) 2 3 2k,kZ (2) 32 k,kZ (3) 3 2k, kZ (4) 6 2k, kZ 随堂即时演练 1下列命题中,错误的是( ) A “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B1的角是周角的 1 360,1 rad 的角是周角的 1 2 C1 rad的角比 1的角要大 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 D用弧度制度量角时,角的大小与圆的半径有关 答案: D 2若
12、2 rad,则的终边在 ( ) A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案: C 3 135化为弧度为 _, 11 3 化为角度为 _ 答案: 3 4 660 4已知半径为12 cm,弧长为8cm 的弧,其所对的圆心角为,则与角终边相同的角 的集合为 _ 答案: 2 3 2k,kZ 5设角 570, 3 5 . (1)将用弧度制表示出来,并指出它所在的象限; (2)将用角度制表示出来,并在720 0之间找出与它有相同终边的所有角 答案: (1) 19 6 ;在第二象限; (2)108;在 720 0之间与有相同终边的角的大小为612和 252. 课时达标检测 一、选择题 1下列命题中,正
13、确的是( ) A1 弧度是 1度的圆心角所对的弧 B1 弧度是长度为半径长的弧 C1 弧度是 1 度的弧与1 度的角之和 D1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案: D 21 920化为弧度数为( ) A. 16 3 B. 32 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C. 16 3 D. 32 3 答案: D 3. 29 6 是 ( ) A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 答案: B 4圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A. 3 B. 2 3 C.3 D2 答案: C 5集合P|2k(2k1),kZ ,Q | 44,则P
14、Q等于 ( ) A? B| 4,或 0 C| 44 D|0 答案: B 二、填空题 6用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_ 答案: |2k 2k,kZ 7如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的 3 2倍,则该弧所对的圆心角是原 来的 _倍 答案: 3 8若角的终边与 8 5的终边相同,则在 0,2 上,终边与 4的终边相同的角有 _ 答案: 2 5 , 9 10, 7 5 , 19 10 三、解答题 9已知 800. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)把改写成2k (kZ,02 )的形式,并指出是第几象限角; (2)求,使与的终边相同,且 2, 2 . 解: (1
15、) 800 3 360 280, 280 14 9 , 800 14 9 (3)2 . 与角 14 9 终边相同,是第四象限角 (2)与终边相同的角可写为2k 14 9 ,kZ 的形式,而与的终边相同, 2k 14 9 , kZ. 又 2, 2 , 22 k 14 9 2, k Z, 解得k 1, 2 14 9 4 9 . 10如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转 3弧度, 点Q按顺时针方向每秒钟转 6弧度,求 P,Q第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的 弧长 解:设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,则t 3t 6 2, 所以t4(s), 即P,Q第一次相遇时所用的时间为4 s. P点走过的弧长为 4 3 4 16 3 ,Q点走过的弧长为 2 3 4 8 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11如图,已知扇形AOB的圆心角为120,半径长为6,求弓形ACB的面积 解: 120 120 180 2 3 , l 6 2 3 4, AB的长为 4 . S扇形 OAB 1 2lr 1 2 4 612, 如图所示,作ODAB,有SOAB 1 2 ABOD 1 226cos 30 39 3. S弓形ACBS扇形OABSOAB12 93. 弓形ACB的面积为12 93.
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