高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式知识巧解学案新人教A版必修54.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3 三角函数的诱导公式 疱工巧解牛 知识 ?巧学 一、公式二 ( + 与的三角函数关系) 1.公式 sin( + )=-sin cos( + )=-cos tan( + )=tan 2.公式二的推导 设0,2 ),0, 2 ,则以下四种情形中有且仅有一种成立. = ,0, 2 )或 = - , 2 , )或 = + , , 2 3 )或 =2 - , 2 3 ,2 ). 在以上四种情形中, + 的终边可由角的终边按逆时针方向旋转rad 而得到,即角+ 终边上的点关于原点的对称点一定在角的终边上. 如图 1-3-2, 不妨设为任意角, 若角的终边与
2、单位圆交于点P(x, y), 则其反向延长线(即 + 角的终边)与单位圆交于点P(-x, -y). 图 1-3-2 由于单位圆的半径是1,即 r=1,根据任意角的正弦、余弦函数的定义,可得sin =y, cos =x,tan = x y ;sin( + )=-y,cos( + )=-x,tan( + )= x y x y . 于是,我们得到公式二. 特别地,由于角 + 与角的终边关于原点对称,故有公式成立. 二、公式三 (-与的三角函数关系) 1.公式 sin(- )=-sin cos(- )=cos tan(- )=-tan 2.公式三的推导 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由于
3、360-角是与-角的终边相同的角,所以它的同名三角函数值相等,而与-是按 不同的方向旋转形成的绝对值大小相同的角.显然,角与 -角的终边关于 x 轴对称 . 设角的终边与单位圆相交于点P(x,y),则角 -的终边与单位圆的交点为P(x,-y), 如图 1-3-3. 图 1-3-3 由于单位圆的半径r=1,根据任意角的正弦、余弦函数的定义,可得sin =y,cos =x , tan = x y , sin(- )=-y,cos(- )=x ,tan(- )= x y x y . 于是,我们得到公式三.特别地 ,角-与角的终边关于 x 轴对称 ,故有公式成立. 学法一得因为正、余弦函数的定义域是x
4、R,正切函数的定义域是x 2 +k ,k Z,它 们都关于原点对称.故由该公式可知正弦与正切函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 三、公式四 ( -与的三角函数关系 ) 1.公式 sin( - )=sin cos( - )=-cos tan( - )=-tan 2.公式四的推导 由于 sin( + )=-sin, cos( + )=-cos, tan( + )=tan, sin(- )=-sin , cos(- )=cos, tan(- )=-tan , 所以 sin( - )=sin +(- ) =-sin(- )=sin, cos( - )=cos +(- )=-cos(- )=-cos, t
5、an( - )=tan +(- )=tan(- )=-tan . 于是,我们得到公式四.特别地,角-与角的终边关于 y 轴对称,故有公式成立. 学 法 一 得两 个 互 为 补 角 的 角 的 正 弦 值 相 等 , 余 弦 值 、 正 切 值 互 为 相 反 数 .例 如 2 1 6 sin 6 5 sin, 2 1 3 cos 3 2 cos, 2 2 4 cos 4 3 cos. 四、诱导公式 1.公式一、二、三、四都叫做诱导公式,抛去各自的特点,可把它们概括如下: 对于 +k 2 (kZ),-,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 看
6、成锐角时原函数值的符号,由于把角视为锐角,所以 +2k (kZ), - , + ,-的函数值应 分别按与一、二、三、四象限相对应的符号进行标注.以上四组诱导公式是用弧度制表示的, 若采用角度制,写成 +k 360(kZ), -, 180的形式,其规律是一样的. 2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤: 3.诱导公式的作用:利用上述诱导公式,可对任意角的三角函数式进行化简、求值及恒等式 的证明 . 记忆要诀根据公式,可将四组诱导公式编成口诀“函数名不变,符号看象限”记忆. 五、公式五与公式六 1.公式 sin( 2 - )=cos cos( 2 - )=sin sin(
7、2 + )=cos cos( 2 + )=-sin 2.公式五和公式六可以概括为 2 , 2 3 的三角函数值,等于的余名函数值,前面加 上一个把看成锐角时原函数值的符号.诱导公式五、六的出现,进一步丰富了三角函数的化 简过程,拓宽了三角函数式的化简渠道.对同一三角函数式,使用不同的诱导公式,可以获 得不同的解题途径. 记忆要诀两套诱导公式可概括为k 2 (kZ)的各三角函数值,当k 为偶数时,得的 同名函数值, 当 k 为奇数时, 得的余名函数值, 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符 号,还可编成口诀“奇变偶不变,符号看象限”或“奇余偶同,象限定号”去记忆. 典题 ?热题 知识点一公式二的
8、应用 例 1 求下列各式的三角函数值: (1)cos 6 7 ;(2)cos1 290 ; (3)sin(-480). 思路分析: 先用公式一能把任意角的三角函数值转化成0到 360角的三角函数值,再借 助公式二把180到 270角的三角函数值转化为求锐角的函数值. 解: (1)cos 6 7 =cos( + 6 )=-cos 6 = 2 3 . (2)cos1 290 =cos(210+3360)=cos210=cos(180+30) =-cos30= 2 3 . (3)sin(-480)=sin(240-2360)=sin240=sin(180+60) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧
9、整理 =-sin60= 2 3 . 方法归纳化简终边落在第三象限的角的三角函数值的步骤:(1)先把转化成 = +2k ,k Z,其中( , 2 3 )的形式,根据公式一,把求的三角函数值就转化成了求的三角函数值; (2)再把写成 = + , (0, 2 )的形式, 根据公式二, 把求的三角函数值转化成了求锐角的三 角函数值 .特别地,若 ( , 2 3 ),可直接按第 (2)步进行化简 . 知识点二公式三的应用 例 2 求下列各式的值. (1)sin( 4 );(2)cos(-60 );(3)tan(-750). 思路分析: 可先利用公式三,把负角的三角函数转化成正角的三角函数,再利于诱导公式
10、, 把正角的三角函数转化成锐角的三角函数进行求值. 解: (1)sin( 4 )=-sin 4 = 2 2 ; (2)cos(-60)=cos60= 2 1 ; (3)tan(-750)=-tan750=-tan(2360+30)=-tan30= 3 3 . 例 3 已知 tan =3,求 )sin(2)cos(4 )sin(3)cos(2 的值 . 思路分析: 先由诱导公式二、三进行化简,再把齐次弦函数式转化成切函数的形式求解,或 直接利于同角的三角函数的基本关系式进行求解. 解: 原式 = sin2cos4 sin3cos2 . tan =3,是第一、三象限的角. 当是第一象限角时, co
11、s = 10 10 31 1 tan1 1 22 ,sin =cos tan = 10 103 . 原式 = 2 7 10 103 2 10 10 4 10 103 3 10 10 2 . 当是第三象限角时,同理,可得原式 = 2 7 . 综上可知,所求代数式的值为 2 7 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 巧解提示: tan =3,cos 0. 原式 = 2 7 324 332 tan24 tan32 sin2cos4 sin3cos2 . 方法归纳已知的切函数值,求与有关的弦函数式的值 可考虑用同角的三角函数的基本关系式进行求值,但要注意角所在的象限; 若弦函数式是一齐次式,可
12、将齐次式的分子、分母同除以一个齐次项进行化简,但要保证 所除因式不为零. 例 4 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=1-cosx;(2)g(x)=x-sinx;(3)h(x)=x 2-tanx. 思路分析: 要判断函数的奇偶性,一看函数的定义域是否关于原点对称,二看f(-x)与 f(x)的 关系 . 解: (1)函数的定义域为R,因为 f(-x)=1-cos(-x)=1-cosx=f(x) ,所以 f(x)是偶函数 . (2)函数的定义域为R,因为 g(-x)=(-x)-sin(-x)=-x-(-sinx)=-(x-sinx)=-g(x), 所以 g(x)是奇函数 . (3)函数的定义域
13、为R 且 x 2 +k ,kZ,因为 h(-x)=(-x) 2-tan(-x)=x2+tanx, 显然 h(-x) h(x)并且 h(-x) -h(x),所以 h(x)是非奇非偶函数. 方法归纳诱导公式三是化负角为正角的依据;诱导公式三是判断函数奇偶性的依据. 知识点三公式四的应用 例 5 已知 cos( 6 - )= 3 3 ,求 cos( 6 5 + )-sin2( - 6 )的值 . 思路分析: 由于三角函数的自变量是角,所以对三角函数的分析应从角入手,合理进行角的 变换,使所求角的三角函数能用已知角的三角函数表示出来.因为 ( 6 - )+( 6 5 + )= ,所以 6 5 + 可化
14、成 -( 6 - ).又因为- 6 =-( 6 - ),所以可用诱导公式进行求解. 解: cos( 6 - )= 3 3 , 原式 =cos -( 6 - )-1-cos 2( - 6 ) =-cos( 6 - )-1+cos2( 6 - )= 2 ) 3 3 (1 3 3 = 3 32 . 例 6 已知 sin( 4 -x)= 5 1 ,且 0x 2 ,求 cos( 4 3 +x)的值 . 思路分析: 注意到 ( 4 -x)+( 4 3 +x)= ,因此,可将问题转化成求cos( 4 -x)的值 . 解: 0x 2 ,- 2 -x0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4 4 -x
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