高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一学案含解析新人教A版必修4.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 14.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一) 正弦、余弦函数的周期性 提出问题 问题 1:终边相同的角的三角函数值有什么关系? 提示:相等即sin(2kx)sin x,cos(2kx) cos x(kZ) 问题 2:正弦曲线具有什么特点? 提示: “周而复始” ,每隔 2就重复一次 问题 3:余弦曲线是否也具有上述特点? 提示:是 导入新知 1函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x T)f(x),那么函数f(x)就叫周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期
2、(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做f(x)的 最小正周期 2正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y sin x(x R)和余弦函数ycos x(x R)都是周期函数, 2k (kZ,且k0)都是 它们的周期最小正周期为2 . 化解疑难 细解周期函数 (1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(xT)f(x)成立,即x的任意性,否则不能 说yf(x)是周期函数 (2)并非所有周期函数都有最小正周期例如,对于常数函数f(x)c(c为常数,xR),所 有非零实数T都是它的周期,最小正数不存在,所以常数函数没有最小正周期 (3)在周期函数yf(x)中,若xD
3、,则xnTD(nZ),从而要求周期函数的定义域一定 为无限集,且无上下界. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 正弦、余弦函数的奇偶性 提出问题 问题 1:正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性? 提示:正弦曲线关于原点对称,余弦曲线关于y轴对称 问题 2:诱导公式sin(x) sin x,cos(x)cos x体现了函数的什么性质? 提示:奇偶性 导入新知 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数 化解疑难 函数yAsin( x)(A0)或yAcos( x)(A0)奇偶性的判断方法 由于函数yAsin x(A0)是奇函数,yAcos x(A 0)是偶函数,因此判断函数y
4、Asin( x)(A0)或yAcos( x)(A0)是否具备奇偶性,关键是看它们能否通过诱导公 式转化为yAsin x(A0)或yAcos x(A0) 函数的周期 例 1 求下列三角函数的周期: (1)y3sin x,xR; (2)ycos 2x,x R; (3)ysin 1 3 x 4 ,xR; (4)y|cos x| ,xR. 解 (1)因为 3sin(x 2 )3sin x,由周期函数的定义知,y3sin x的周期为2 . (2)因为 cos2(x )cos(2x2 ) cos 2x,由周期函数的定义知,y cos 2x的周期为. (3)因为 sin 1 3 x6 4 sin 1 3x2
5、 4 sin 1 3 x 4 , 由周期函数的定义知,ysin 1 3 x 4 的周期为6 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (4)y|cos x| 的图象如图 (实线部分 )所示, 由图象可知,y |cos x| 的周期为. 类题通法 求函数最小正周期的常用方法 求三角函数的周期,一般有两种方法:公式法,即将函数化为yAsin( x)b或y Acos( x)b的形式,再利用T 2 | 求得;图象法,利用变换的方法或作出函数的图 象,通过观察得到最小正周期 活学活用 求下列函数的最小正周期: (1)y3sin x 2 3 ; (2)ycos|x|. 答案: (1)4 (2)2 三角
6、函数的奇偶性 例 2 (1)函数f(x)2sin 2x的奇偶性为 ( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 (2)判断函数f(x)sin 3 4 x 3 2 的奇偶性 解析 (1)(1)A (2)f(x)sin 3 4x 3 2 cos 3 4x, f(x) cos 3 4x cos 3 4x, 函数f(x)sin 3 4x 3 2 为偶函数 类题通法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使yAsin( x)(A0)为奇函数,则k (k Z); (2)要使yAsin( x)(A0)为偶函数,则k 2 (kZ); (3)要使yA
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