高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修02.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.6 三角函数模型的简单应用 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简 单的实际问题.(重点 ) 2.实际问题抽象为三角函数模型.(难点 ) 基础初探 教材整理三角函数的实际应用 阅读教材P60 P64所有内容,完成下列问题. 1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型. 2.y|sin x| 是以为周期的波浪形曲线. 3.解三角函数应用题的基本步骤: (1)审清题意; (2)搜集整理数据,建立数学模型; (3)讨论变量关系,求解数学模型; (4)检验,作出结论. 单摆从某点开始来回摆动,离开平衡
2、位置O的距离s(厘米 )和时间t(秒)的函数关系为s 3sin 2t 3 ,那么单摆来回摆的振幅为_厘米,一次所需的时间为_秒. 【解析】因为s3sin 2 t 3 , 所以振幅为A3(厘米 ),周期T 2 2 4(秒 ). 【答案】3 4 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 小组合作型 三角函数模型简单的实际应用 如图 1-6-1,某动物种群数量1 月 1 日低至 700只,7月 1 日高至 900只,其总量 在此两值之间依正弦型曲线变化. 图 1-6-1 (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式 (其中t以年初以来的月为计量单位); (2)估计当年 3 月 1日动物种群数量. 【导
3、学号: 00680027 】 【精彩点拨】可设yAsin( x)b(A0,0)来求解 . 【自主解答】(1)设动物种群数量y关于t的解析式为yAsin( t)b(A0,0), 则 Ab700, Ab900, 解得A100 ,b800. 又周期T2 (6 0) 12, 2 T 6, y100sin 6t 800. 又当t6 时,y900, 900100sin 66 800, sin()1, sin 1, 取 2, y100sin 6t 2 800. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)当t2 时,y100sin 62 2 800750, 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是750只
4、. 解三角函数应用问题的基本步骤 再练一题 1.已知某地一天从416时的温度变化曲线近似满足函数y10sin 8x 5 4 20,x4,16. (1)求该地这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在15 到 25 之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存 多长时间? 【解】(1)当x14 时函数取最大值,此时最高温度为30 ,当x 6时函数取最小值, 此时最低温度为10 ,所以最大温差为30 10 20 . (2)令 10sin 8 x 5 4 2015, 得 sin 8x 5 4 1 2, 而x4,16,所以x 26 3 . 令 10sin 8x 5 4 2025, 得 si
5、n 8x 5 4 1 2, 而x4,16,所以x 34 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故该细菌能存活的最长时间为 34 3 26 3 8 3小时 . 三角函数模型在物理学中的应用 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s) 的变化规律为s4sin 2t 3 ,t0, ).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列 问题 . (1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? 【精彩点拨】确定函数yAsin( x)中的参数A,的物理意义是解题关键.
6、【自主解答】列表如下: t 6 12 3 7 12 5 6 2t 3 0 2 3 2 2 sin 2t 3 01010 s 04040 描点、连线,图象如图所示. (1)将t0代入s4sin 2t 3 , 得s4sin 32 3, 所以小球开始振动时的位移是23 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和 4 cm. (3)因为振动的周期是,所以小球往复振动一次所用的时间是s. 在物理学中, 物体做简谐运动时可用正弦型函数yAsin x表示物体振动的位移 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体离开平衡位置的最大距离,T 2
7、 为周期,表示 物体往复振动一次所需的时间,f 1 T为频率,表示物体在单位时间内往复振动的次数 . 再练一题 2.弹簧挂着的小球做上下振动,它在ts 时相对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度h cm 由函数关系式h 3sin 2t 4 确定 . (1)以t为横坐标,h为纵坐标,作出函数的图象(0t ); (2)求小球开始振动(即t0)时的位移; (3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移; (4)经过多少时间小球往复振动一次? (5)每秒钟小球能往复振动多少次? 【解】(1)函数h3sin 2t 4 ,0t的图象如图所示 . (2)令t0,得h 32 2 ,所以小球开始振动时的位
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