高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用知识巧解学案新人教A版必修9.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.6 三角函数模型的简单应用 疱工巧解牛 知识 ?巧学 一、函数y=f(x) 与 y=|f(x)|图象间的关系 绝对值仅对函数值施加影响,根据绝对值的意义有 ,0)(),( , 0)(),( xfxf xfxf y要画出 y=|f(x)|的图象,只需先画出y=f(x) 的图象,再把x 轴下半平面的部分沿x 轴翻折上去 (翻折 后 x 轴下方的图象不再存在),这样原有的x 轴上半平面的部分及翻折上去的部分一起便构 成了 y=|f(x)|的图象 . 二、数学建模 解决实际问题就是要把实际问题变成数学问题,通过解数学问题, 获得答案, 再反过来 解释实际
2、问题,这就是一个数学建模的过程. 一般来说,数学建模过程可用下面的框图表示: 图 1-6-1 当问题与函数图象有关时,可先建立适当坐标系,把题目所给的每一对数据作为一个点 的坐标,在坐标系中描出这些点,并用光滑曲线把这些点依次连结起来,观察所画曲线、选 用适当函数解析式,设法求出解析式中各参数,并将已知数据代入求得的解析式进行检验. 如果等式不成立,则需修改解析式;如果等式成立,则该函数解析式就是本题的数学模型. 这时就可以利用这个数学模型解决题目的其他问题了. 函数模型的应用实例主要包括三个方面:直接利用给定的函数模型解决实际问题;建立 确定性函数模型解决实际问题;建立拟合函数模型解决实际问
3、题. 误区警示建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的. 这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 典题 ?热题 知识点一确定函数解析式 例 1 若函数 y=Asin( x+ )(A0, 0,02 )的最小值为 -2,周期为 3 2 ,且它的图象过点 (0,2),求此函数的表达式. 思路分析: 根据条件可先求出A,再由周期得出,用特殊点求出. 解: 由题意得 A=2, =3,故设 y=2sin(3x+ ), 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图象过点 (0,2),sin = 2 2 ,0 2 . = 4 5 或 = 4 7 . 函数的表达式为y=2sin
4、(3x+ 4 5 )或 y=2sin(3x+ 4 7 ). 例 2 图 1-6-2 为 y=Asin( x+ )的一段图象,求其解析式. 图 1-6-2 思路分析: 本题主要考查正弦函数的图象与性质.首先确定 A.若以 N 为五点法作图中的第一 个零点,由于此时曲线是先下降后上升(类似于 y=-sinx 的图象 ),所以 A0;若以 M 点为第 一个零点, 由于此时曲线是先上升后下降(类似于 y=sinx 的图象 ),所以 A0.而可由相位来 确定 . 解: 以 N 为第一个零点,则A=3,T=2( 6 5 - 3 )= . =2,此时解析式为y=3sin(2x+ ). 点 N( 6 ,0)为
5、 y=3sin(2x+ )的第一个零点, 6 2+ =0 = 3 .所求解析式为y=3sin(2x+ 3 ). 巧解提示: 以点 M( 3 ,0)为第一个零点,则A=3, = T 2 =2, 解析式为 y=3sin(2x+ ). 点 M( 3 ,0)为 y=3sin(2x+ )=0 的第一个零点, 将点 M 的坐标代入得2 3 + =0 = 3 2 . 所求解析式为y=3sin(2x- 3 2 ). 方法归纳(1)参数 A 与是改变曲线形状的量,与b 是改变曲线位置的量.它们一起决定了 曲线的形状与位置. (2)确定解析式y=Asin( x+ )+b 中的参数 A、 b 的关键是明确该函数同y
6、=sinx 的关系; 同时明确“五点法”作草图的过程及两个图象上相对应点间的关系. 知识点二函数 y=f(x)与 y=|f(x)|图象间的关系 例 3 画出下列函数的图象并观察其周期. (1)y=|cosx| ;(2)y=|tanx|. 思路分析: 显然 y=|cosx| ,y=|tanx| 的图象分别是把y=cosx,y=tanx 的图象在x 轴下半平面 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的部分沿x 轴翻折上去而得到的. 解: (1)y=|cosx| 的图象如图1-6-3 所示 . 图 1-6-3 从图中可以看出该函数是以为周期的函数. (2)y=|tanx| 的图象如图1-6-4所
7、示 . 图 1-6-4 从图中可以看出该函数是以为周期的函数. 例 4 试画出下列函数的图象并观察其周期. (1)y=sin|x| ;(2)y=tan|x|. 思路分析: 显然这两个函数都是偶函数,其图象应关于y 轴对称 .根据绝对值的意义可知x 0 的部分应是y=sinx,y=tanx 右半平面的部分. 解: (1)y=sin|x| 的图象如图1-6-5 所示 . 图 1-6-5 从图中可以看出y=sin|x| 不再是周期函数. (2)y=tan|x| 的图象如图1-6-6所示 . 图 1-6-6 从图中可以看出y=tan|x| 的图象也不再是周期函数. 方法归纳(1)一般地,对于函数y=f
8、(|x|)而言,若它的定义域是关于原点对称的,则它是偶 函数,它的图象必关于y 轴对称,因为当x0 时, |x|=x,所以函数y=f(|x|)的图象在y 轴 右半平面的部分(包括同 y 轴的交点 )是函数 y=f(x) 在 x0 时的部分,左半平面的部分应是右 半平面的部分沿y轴翻折而得到的. (2)函数 y=|Asin( x+ )| 的图象是保留y=Asin( x+ )的上半平面部分, 而把下半平面的部分沿 x 轴翻折上去而得到的.对于 y=|Acos( x+ )| 、 y=|tan( x+ )| 的图象也是如此.函数 y=|sin( x+ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 )| 的
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