高中数学第一章不等关系与基本不等式4不等式的证明第2课时学案北师大版选修4_320.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4 不等式的证明第 2 课时综合法、放缩法 1理解综合法的方法与步骤,会用综合法证明简单的不等式 2认识放缩法,了解它的方法与步骤,会用放缩法证明简单的不等式 1综合法 (1)定 义 : 利 用 某 些 _( 例 如 算 术 平 均 数 和 几 何 平 均 数 的 定 理 ) 和 _,推导出所要证明的不等式,这种证明方法叫综合法 (2)证明原理:A?B1?B2? ?Bn?B,即从 _出发, 逐步推演不等式成立的_ 条件,推导出所要证明的结论B 【做一做 1】设a,b,c都是正数,求证:(abc) 1 ab 1 bc 1 ca 9 2 2放缩法 (1)
2、定义:通过缩小(或放大 )分式的分母 (或分子 ),或通过放大(或缩小 )被减式 (或减式 )来 证明不等式,这种证明不等式的方法称为_ (2)放缩法证明不等式的主要依据:不等式的传递性;等量加不等量为不等量; 同分子 (分母 )异分母 (分子 )的两个分式大小的比较 【做一做 2】若nN,求证:122 3nn1 n1 2 2 答案: 1(1)已经证明过的不等式不等式的性质(2)已知条件A必要 【做一做 1】证明: (ab)(bc)(ca) 3 3 abbcca, 又 1 ab 1 bc 1 ca 3 3 1 abbcca , (abc) 1 ab 1 bc 1 ca 1 23 3 abbcc
3、a3 3 1 abbcca 9 2 2(1)放缩法 【做一做 2】分析:利用nn1 nn1 2 2n1 2 来证明 证明:nn1 nn1 2 2n1 2 , 1223nn1 3 2 5 2 2n1 2 n32n1 2 2 nn2 2 n 2 2n 2 n1 2 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1分析法与综合法的比较 剖析: (1)综合法与分析法的比较如下表 方法起始步骤求证过程求证目标方向 综合法 基本不等式或已经 证明过的不等式 实施一系列的推理或 等价变换 要求证的结论由因导果 分析法要求证的不等式 寻求结论成立的充分 条件并证明其成立 所需条件全都成立执果索因 (2)用综合
4、法与分析法证明不等式的逻辑关系 综合法:A(已知 )?B1?B2? ?Bn?B(结论 )(逐步推演不等式成立的必要条件), 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立 分析法:B(结论 )?B1?B2? ?Bn?A(已知或明显成立的条件)(步步寻求不等式成立的 充分条件 ) 总之,分析法与综合法是对立统一的两种方法 2用放缩法证明不等式 剖析: (1)为了证明不等式,有时需舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利 用不等式的传递性,达到证题的目的,这种方法就是放缩法运用放缩法要注意放缩必须适 当,放得过大或缩得过小都不能达到证题的目的 (2)放缩时使用的主要方法有:舍去或加上一些项,如a 1
5、2 2 3 4 a 1 2 2;将分子 (或分母 )放大 (或缩小 ),如 1 k2 1 kk1 (k 1), 1 k2 1 kk1 , 1 k 2 kk1 , 1 k 2 kk1 (kN)等 (3)放缩法的理论依据主要有不等式的传递性;等量加不等量为不等量;同分子 (分 母)异分母 (分子 )的两个分式大小的比较 对不等式而言,放缩法的本质是“不等式的加强” (4)运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小 )要适当如果所要证明的不等式中含有 分式, 那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小;反之,如果把分母缩小,则相应分式 的值就会放大 有时也会把分子、分母同时放大,这时应该注意不等式的变化
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- 高中数学 第一章 不等 关系 基本 不等式 证明 课时 北师大 选修 _320
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