高中数学第一章不等式的基本性质和章末小结知识整合与阶段检测学案新人教B版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 知识整合与阶段检测 对应学生用书P24 对应学生用书P24 绝对值不等式的解法 求解绝对值不等式或根据绝对值不等式解集及成立情况求参数的值或取值范围问题,是 高考中对绝对值不等式考查的一个重要考向,每年高考均有重要体现,以填空题、 解答题为 主,属中档题,解绝对值不等式的基本思想,是转化、化归,不等式的性质是实现“转化” 的基本依据, 通过利用绝对值的几何意义、平方法、 零点分区间讨论法等将绝对值不等式转 化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解 例 1 不等式 |x1| |x|0
2、时, 4 a x 2 a ,得a2. (2)法一:记h(x)f(x)2f(x 2 ), 则h(x) 1,x 1, 4x 3, 10, tanx0. 故f(x) 1 tan x4tan x2 1 tan x4tan x4. 答案 C 例 4 为了提高产品的年产量,某企业拟在2014年进行技术改革经调查测算,产品 当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元 (m0)满足x3 k m1(k 为常数 )如果不搞 技术改革,则该产品当年的产量只能是1 万件已知2014 年生产该产品的固定投入为8 万 元,每生产1 万件该产品需要再投入16 万元由于市场行情较好,厂家生产的产品均能销 售出去厂家将每件产品的
3、销售价格定为每件产品生产成本的1.5 倍(生产成本包括固定投入 和再投入两部分资金) (1)将 2014年该产品的利润y万元 (利润销售金额生产成本技术改革费用)表示为技 术改革费用m万元的函数; (2)该企业 2014年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解 (1)由题意可知,当m0 时,x1(万件 ), 13k.k2.x3 2 m1. 每件产品的销售价格为1.5 8 16x x (元 ), 2014年的利润 yx 1.5 816x x (816x)m 16 m1 m1 29(m0) (2)m0, 16 m1(m1)2 168, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y29
4、821. 当 16 m1 m 1,即m3,ymax21. 该企业 2014年的技术改革费用投入3万元时,厂家的利润最大. 不等式的证明 证明不等式是近几年新课标高考的一个热点考向,常以解答题的形式出现,常与函数、 数列等知识交汇命题,常用到的证明方法有: 1比较法证明不等式 比较法证明不等式的依据是:不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证 明的一般步骤是:作差;恒等变形;判断结果的符号;下结论其中,变形是证明 推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是 多少, 变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方, 可以因式分解,可以运用一切有效 的恒等变
5、形的方法 例 5 已知ab0,求证: 2a 3 b3 2ab 2 a 2b. 证明 2a3b3(2ab 2 a 2b) 2a(a2b2)b(a 2b2) (a 2 b2)(2ab) (ab)(ab)(2ab) 因为ab0,所以ab0,ab0,2ab0, 从而 (ab)(ab)(2ab)0, 即 2a 3 b3 2ab 2a2b. 2综合法证明不等式 综合法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条 件(由因导果 ),最后推导出所要证明的不等式成立 综合法证明不等式的依据是:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论:证明时要注意的 是:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知
6、或已证 )成立的条件往往不同,应用时要先考 虑是否具备应有的条件,避免错误、如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件, 即对重要不等式中“当且仅当时,取等号”的理由要理解掌握 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 6 设x0,y0,z0,求证: x2xyy2y 2 yzz 2 xyz. 证明 x2xyy2x y 2 2 3y2 4 x y 2, y2zyz2z y 2 2 3 4y 2z y 2, 由得: x2xyy2y 2 zyz 2 xyz. 3分析法证明不等式 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本 理论分析法证明不等式的思维方向是“逆
7、推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成 立的充分条件 (执果索因 ),最后得到的充分条件是已知(或已证 )的不等式 当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论 复杂的题目往往更为有效 由教材内容可知,分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法 是“由因导果” ,逐步推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的两种方法一般来 说,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径, 然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用 例 7 已知a0,b0,且ab1, 求证:a 1 2 b 1 22. 证明 要证a
8、 1 2 b 1 22, 只要证a 1 2 b 1 2 24, 即证ab 12 a 1 2 b 1 2 4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 只要证:a 1 2 b 1 2 1. 也就是要证:ab 1 2 (ab) 1 41, 即证ab 1 4. a0,b0,ab1. 1ab2ab, ab 1 4 ,即上式成立 故a 1 2 b 1 22. 4反证法和放缩法证明不等式 (1)反证法:先假设要证明的结论是不正确的,然后利用公理、已有的定义、定理、命 题的条件逐步分析,得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论,以此说明 假设的结论不成立,从而原来的命题结论正确 (2)放缩法
9、:将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小 ),使不等式由繁化简,达到证 明的目的 例 8 已知a0,求证a 2 1 a 2 2a 1 a 2. 证明 假设a 2 1 a 222 ,Bx|x26x82 x|x3 或x1”是“ 1 a1, 所以“a1”是“ 1 a0,ac0 C b2 c a 2 c D ac ac c,a0,即 1 a 0,可得 b a c a ,故 A 恒成立 b0,故 B 恒成立 c0. 又aca 2,而 ca,对于xR 均成立,那么实数a的取值范围是 ( ) A(, 5) B0,5) C(, 1) D 0,1 解析:由绝对值的几何意义知|x2| |x3| 表示的是x与数轴
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