高中数学第一章不等式的基本性质和1.5.3反证法和放缩法学案新人教B版选修4270.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 15.3 反证法和放缩法 对应学生用书 P21 读教材填要点 1反证法 首先假设要证明的命题是不正确的,然后利用公理,已有的定义、定理, 命题的条件逐 步分析,得到和命题的条件(或已证明过的定理,或明显成立的事实)矛盾的结论,以此说明 假设的结论不成立,从而原来结论是正确的,这种方法称为反证法 2放缩法 在证明不等式时,有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小 )使它由繁化简, 达到证明目的,这种方法称为放缩法 小问题大思维 1用反证法证明不等式应注意哪些问题? 提示:用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多
2、种可能要逐一论证,缺少任何一种可能, 证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否则,仅否定结 论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾, 有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的 2运用放缩法证明不等式的关键是什么? 提示:运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小 )要适当如果所要证明的不等式中 含有分式, 那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小;反之,如果把分母缩小,则相应 分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大,这时应该注意
3、不等式的变化情况,可 以与相应的函数相联系,以达到判断大小的目的,这些都是我们在证明中的常用方法与技巧, 也是放缩法中的主要形式 对应学生用书 P21 用反证法证明否定性结论 例 1 设a,b,c,d都是小于 1 的正数,求证:4a(1b),4b(1c),4c(1d), 4d(1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a)这四个数不可能都大于1. 思路点拨 本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难,因此可 考虑采用反证法从反面入手解决 精解详析 假设 4a(1b) 1,4b(1c) 1,4c(1d)1,4d(1a)1,则有 a(1b) 1 4, b(1c) 1 4, c(1d
4、) 1 4, d(1a) 1 4. a1b 1 2, b1c 1 2, c1d 1 2, d1a 1 2. 又a1b a1b 2 ,b1c b1c 2 , c1d c1d 2 ,d1a d1a 2 , a1b 2 1 2 , b1c 2 1 2, c1d 2 1 2, d1a 2 1 2. 将上面各式相加得22,矛盾 4a(1b),4b(1c),4c(1d),4d(1a)这四个数不可能都大于1. (1)当证明的结论中含有“不是”, “不都”, “不存在”等词语时,适于应用反证法,因 为此类问题的反面比较具体 (2)用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾,与假设矛 盾,与显然
5、成立的事实相矛盾 1已知数列 an 的前n项和为Sn,且满足anSn2. (1)求数列 an的通项公式; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求证数列 an中不存在三项按原来顺序成等差数列 解: (1)当n1 时,a1S12a12,则a11. 又anSn2,所以an 1Sn 12, 两式相减得an 1 1 2a n, 所以 an是首项为1,公比为 1 2的等比数列, 所以an 1 2n 1. (2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap 1,aq1,ar 1(p0,且 (x 1) 2(y1)2(z1)0 abc0 这与abc0 矛盾 因此,a,b,c中至少有一个大于0.
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- 高中数学 第一章 不等式 基本 性质 1.5 反证法 法学 新人 选修 4270
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