高中数学第一章不等式的基本性质和1.5.2综合法和分析法学案新人教B版选修48.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 15.2 综合法和分析法 对应学生用书 P19 读教材填要点 1综合法 从命题的已知条件出发,利用公理、 已知的定义及定理,逐步推导,从而最后导出要证 明的命题,这种方法称为综合法 2分析法 从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,利用已知的一些定理,逐步 探索,最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实),这种证明 方法称为分析法 小问题大思维 1如何理解分析法寻找的是使要证命题成立的充分条件? 提示:用分析法证题时,语气总是假定的,常用“欲证A只需证B”表示,说明只要B 成立,就一定有A成立,所以B必须是A的充分
2、条件才行,当然B是A的充要条件也可 2用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系? 提示:综合法:A?B1?B2? ?Bn?B(逐步推演不等式成立的必要条件), 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立 分析法:B?B1?B2? ?Bn?A(步步寻求不等式成立的充分条件), 总之,综合法与分析法是对立统一的两种方法 对应学生用书 P19 用综合法证明不等式 例 1 已知a,b,c均为正实数,且互不相等,又abc1. 求证:abc0,b0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc. 证明:因为b2c2 2bc,a0, 所以a(b2c2)2abc. 又因为c2a22ac,b0, 所以b(c2a2)2
3、abc. 因此a(b2c2)b(c2a2)4abc. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 用分析法证明不等式 例 2 a,b均为正实数,且2cab. 求证:cc 2 ab0,y0,求证: (x2y2) 1 2 (x3y 3) 1 3 . 证明:要证明(x2y 2) 1 2 (x3y3) 1 3 , 只需证 (x2y2)3(x3y3)2, 即证x63x4y2 3x2y4y6x62x3y3y6, 即证 3x4y 2 3x2y42 x 3y3. x0,y0,x2y20. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即证 3x23y22xy. 3x23y2x2y22xy, 3x23y22xy成立
4、(x2y2) 1 2 (x3y3) 1 3 . 分析法与综合法的综合应用 例 3 已知a,b,c均为正实数,且b2ac.求证:a 4 b4c4(a2b2c2)2. 思路点拨 本题考查综合法与分析法的综合应用解答本题可先采用分析法将所要证 明的不等式转化为较易证明的不等式,然后再用综合法证明 精解详析 欲证原不等式成立,只需证a 4 b4c4a 4 b4c42a 2b22a2c22b2c2, 即证a2b 2 b2c 2a2c20, b2ac,故只需证 (a 2c2)ac a 2c20. a、c0,故只需证a 2 c2ac0, 又a 2c22ac , a 2 c 2 ac0 显然成立 原不等式成立
5、 (1)通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原 不等式易于证明 (2)有些不等式的证明,需要一边分析一边综合,称之为分析综合法,或称“两头挤” 法,如本例,这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提,互相渗透,相互转化的辩证统 一关系 3已知abc,求证: 1 ab 1 bc 1 ca 0. 证明:法一:要证明 1 ab 1 bc 1 ca 0, 只需要证明 1 ab 1 bc 1 ac. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 abc,acab0,bc0, 1 ab 1 ac, 1 bc0, 1 ab 1 bc 1 ca成立 1 ab 1 bc 1 ca 0
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