高中数学第一章名师讲义新人教B版必修72.pdf
《高中数学第一章名师讲义新人教B版必修72.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章名师讲义新人教B版必修72.pdf(25页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.1 正弦定理和余弦定理 11.1 正弦定理 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系? (2)正弦定理的内容是什么?利用它可以解哪两类三角形? (3)解三角形的含义是什么? 新知初探 1正弦定理 在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即 a sin A b sin B c sin C. 点睛 正弦定理的特点 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立 (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式 (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角 关系的互化 2解三角形 一般地,把
2、三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫做解三角形 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)正弦定理适用于任意三角形( ) (2)在ABC中,等式bsin Aasin B总能成立 ( ) (3)在ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解( ) 解析: (1)正确正弦定理适用于任意三角形 (2)正确由正弦定理知 a sin A b sin B,即 bsin Aasin B. (3)错误在ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况, 具体情况由a,b,A的值来定 答案: (1)(2)(3) 预习
3、课本P35,思考并完成以下问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2在ABC中,下列式子与 sin A a 的值相等的是( ) A.b c B. sin B sin A C. sin C c D. c sin C 解析:选C 由正弦定理得, a sin A c sin C, 所以 sin A a sin C c . 3在ABC中,已知A30,B 60,a10,则b等于 ( ) A52 B103 C. 103 3 D56 解析:选B 由正弦定理得,b asin B sin A 10 3 2 1 2 103. 4在ABC中,A30,a3,b2,则这个三角形有( ) A一解B两解 C无解D无
4、法确定 解析:选A bb,AB45.A60或 120. 当A60时,C180 45 60 75,c bsin C sin B 2sin 75 sin 45 62 2 ; 当A120时,C180 45 120 15,c bsin C sin B 2sin 15 sin 45 62 2 . 综上可知:A60,C75,c 62 2 或A 120,C15,c 62 2 . 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断 另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一 (3)如果已知的
5、角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值 可求两个角,要分类讨论 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在ABC中,c6,C60,a2,求A,B,b. 解: a sin A c sin C , sin A asin C c 2 2 . A45或A135 . 又ca,CA.A45. B75,b csin B sin C 6sin 75 sin 60 31. 三角形形状的判断 典例 在ABC中,acos 2 Abcos 2 B,判断ABC的形状 解: 法一化角为边 acos 2A bcos 2 B, asin Absin B由正弦定理可得:a a 2R b b
6、 2R , a2b2,ab,ABC为等腰三角形 法二化边为角 acos 2A bcos 2 B, asin Absin B. 由正弦定理可得:2Rsin2A2Rsin2B,即 sin A sin B, AB.(AB不合题意舍去 ) 故ABC为等腰三角形 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边 将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分 解因式、配方等)得到边的关系,如ab,a 2 b2c2等,进而确定三角形的形状利用的公式 为: sin A a 2R,sin B b 2R,sin C c 2R . (2)化边为角 将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为
7、角,再根据三角函数的有关知 识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状利用的公式为:a 2Rsin A,b2Rsin B,c 2Rsin C 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 活学活用 在ABC中, sin 2Asin2Bsin2C,且 sin A2sin Bcos C试判断 ABC的形状 解:由正弦定理,得 sin A a 2R,sin B b 2R,sin C c 2R . sin2Asin 2Bsin2C, a 2R 2 b 2R 2 c 2R 2, 即a2b2c 2, 故A90. C90B,cos Csin B. 2sin Bcos C2sin2Bsin A1. sin B 2
8、 2 . B45或B 135(AB225 180,故舍去 ) ABC是等腰直角三角形 层级一学业水平达标 1在ABC中,a5,b3,则 sin Asin B的值是 ( ) A. 5 3 B. 3 5 C. 3 7 D. 5 7 解析:选A 根据正弦定理得 sin A sin B a b 5 3. 2在ABC中,absin A,则ABC一定是 ( ) A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 解析:选B 由题意有 a sin A b b sin B,则 sin B1, 即角B为直角,故ABC是直角三角形 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3在ABC中,若 sin A a cos
9、 C c ,则C的值为 ( ) A30B45 C60D90 解析:选B 由正弦定理得, sin A a sin C c cos C c , 则 cos Csin C,即C45,故选B. 4在ABC中,a3,b5,sin A 1 3,则 sin B ( ) A. 1 5 B. 5 9 C. 5 3 D1 解析:选B 在ABC中,由正弦定理 a sin A b sin B, 得 sin B bsin A a 5 1 3 3 5 9. 5在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a3bsin A,则 sin B( ) A.3 B. 3 3 C. 6 3 D 6 3 解析:选B 由正弦定理得
10、a 2Rsin A,b2Rsin B,所以 sin A3sin Bsin A,故 sin B 3 3 . 6下列条件判断三角形解的情况,正确的是_(填序号 ) a8,b16,A30,有两解; b18,c20,B60,有一解; a15,b2,A90,无解; a40,b30,A120,有一解 解析: 中absin A,有一解; 中csin Bb,有一解; 中ab且A120,有一解综上,正确 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: 7在ABC中,若 (sin Asin B)(sin Asin B)sin 2C,则 ABC的形状是 _ 解析:由已知得sin2Asin2Bsin2C,根据正弦定
11、理知sin A a 2R,sin B b 2R,sin C c 2R, 所以 a 2R 2 b 2R 2 c 2R 2, 即a2b2c 2,故 b2c2a 2.所以 ABC是直角三角形 答案:直角三角形 8在ABC中,若A105,C30,b1,则c_. 解析:由题意,知B180 105 30 45 .由正弦定理,得c bsin C sin B 1sin 30 sin 45 2 2 . 答案: 2 2 9已知一个三角形的两个内角分别是45, 60,它们所夹边的长是1,求最小边长 解:设ABC中,A45,B 60, 则C180 (AB)75. 因为CBA,所以最小边为a. 又因为c1,由正弦定理得
12、, a csin A sin C 1sin 45 sin 75 31, 所以最小边长为31. 10在ABC中,已知a 22,A30,B45,解三角形 解: a sin A b sin B c sin C, ba sin B sin A 22sin 45 sin 30 22 2 2 1 2 4. C180 (AB)180 (30 45)105, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 c asin C sin A 22sin 105 sin 30 22sin 75 1 2 42sin(30 45)223. 层级二应试能力达标 1在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c3a,B3
13、0,那么角 C等于 ( ) A120B105 C90D75 解析: 选 A c3a, sin C3sin A3sin(180 30C)3sin(30C)3 3 2 sin C 1 2cos C,即 sin C 3cos C, tan C3.又 0 b2c2,则ABC一定为钝角三角形( ) (3)在ABC中,已知两边和其夹角时,ABC不唯一 ( ) (4)公式S 1 2 absin C适合求任意三角形的面积( ) 解析: (1)正确余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形 (2)正确当a2b2c2时, cos A b2c2a 2 2bc AC, C60或C120. 当C60时,A9
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一章 名师 讲义 新人 必修 72
链接地址:https://www.31doc.com/p-5590367.html