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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.1 四种命题 学习目标1.了解四种命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四 种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题 知识点一命题的概念 思考给出下列语句: (1)若直线ab,则直线a和直线b无公共点; (2)36 7; (3)偶函数的图象关于y轴对称; (4)5 能被 4 整除 请你找出上述语句的特点 梳理(1)定义:能够判断_的语句 (2)分类 真命题:判断为_的语句 假命题:判断为_的语句 (3)形式: _. 知识点二四种命题的概念 思考给出以下四个命题: (1)当x2 时,x2 3x2
2、0; (2)若x23x20,则x2; (3)若x2,则x2 3x20; (4)若x23x20,则x2. 你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗? 梳理一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,原命题:若p则q. (1)互 逆 命 题 : 对 于 两 个 命 题 , 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 分 别 是 另 一 个 命 题 的 _ , 那 么 这 两 个 命 题 叫 做 _ 其 中 一 个 命 题 叫 做 _,另一个命题叫做原命题的_ (2)互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧
3、萧整理 结论的否定,这两个命题叫做_其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫 做原命题的 _ (3)互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 _和_,这两个命题叫做_其中一个命题 叫做原命题,另一个命题叫做原命题的_ 知识点三四种命题的关系 思考 1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q” ,如果原命题是“若p, 则q” ,那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示? 思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系?原命题的逆命题与原命题的 逆否命题之间是什么关系?原命题的逆命题与原命题的否命题呢? 梳理(1)四种命题之间的关系如下所示: (2
4、)四种命题的真假关系 如果两个命题互为逆否命题,那么它们有_的真假性; 如果两个命题为互逆命题或互否命题,那么它们的真假性_关系 类型一命题及其真假的判定 例 1 判断下列语句是不是命题,若是,判断真假,并说明理由 (1)求证5是无理数; (2)若xR,则x2 4x70; (3)你是高一学生吗? (4)一个正整数不是质数就是合数; (5)xy是有理数,则x、y都是有理数; (6)60x94. 反思与感悟判断一个语句是否为命题,关键看两点:第一是否对一件事进行了判断;第二 能否判断真假一般地,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 跟踪训练1 下列语句是否为
5、命题?若是,判断其真假,若不是,说明理由 (1)x1 或x1; (2)如果x1,那么x3; (3)方程x25x60 的根是x2; (4)x25x60. 类型二四种命题及其相互关系 命题角度1 四种命题的概念 例 2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题: (1)若xA,则xAB; (2)若a,b都是偶数,则ab是偶数; (3)在ABC中,若ab,则AB. 反思与感悟四种命题的转换方法 (1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题 (2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题 (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题 跟踪训练2 命题“若函
6、数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数,则loga20,a1)在其定义域内不是减函数; 若 loga20,则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数; 若 loga20,a1)在其定义域内是减函数; 若 loga20,则函数f(x)logax(a0,a1)在其定义域内是减函数 命题角度2 四种命题真假的判断 例 3 下列命题: “若xy1,则x,y互为倒数”的逆命题; “四边相等的四边形是正方形”的否命题; “梯形不是平行四边形”的逆否命题; “若ac 2 bc2,则ab”的逆命题 其中是真命题的是_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 反思与感悟要判断
7、四种命题的真假:首先,要熟练四种命题的相互关系,注意它们之间的 相互性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握 跟踪训练3 下列命题中为真命题的是_(填序号 ) “正三角形都相似”的逆命题; “若m0,则x2 2xm0 有实根”的逆否命题; “若x2是有理数,则x是无理数”的逆否命题 类型三等价命题的应用 例 4 已知a,b,cR,证明:若abcb,则a 2 b2; a 2 b2; 方程x2x10 的近似根; 方程x2x10 有根吗? 2命题“若 4,则 tan 1”的逆否命题是_ 3已知直线l1:xay10,直线l2:axy20,则命题“若a1 或a 1,则直线l1 与l2平
8、行”的否命题为_ 4下列命题: “全等三角形的面积相等”的逆命题; “正三角形的三个内角均为60”的否命题; “若k0 对于 xR,不等式恒成立 (3)是疑问句,不是命题 (4)是假命题,正整数1 既不是质数,也不是合数 (5)是假命题,如x2,y2. (6)不是命题,这种含有未知数的语句,无法确定未知数的取值能否使不等式成立 跟踪训练1 解(1)不是命题,由于x的值不确定,因此无法作出判断 (2)是命题,且是假命题,已经明确指定了x的值 (3)是命题,且是假命题,因为还有一根是x3. (4)不是命题,因为x的值不确定 例 2 解(1)逆命题:若xAB,则xA; 否命题:若x?A,则x?AB;
9、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 逆否命题:若x?AB,则x?A. (2)逆命题:若ab是偶数, 则a,b都是偶数; 否命题:若a,b不都是偶数, 则ab不是偶数; 逆否命题:若ab不是偶数, 则a,b不都是偶数 (3)逆命题:在ABC中,若AB, 则ab; 否命题:在ABC中,若ab,则AB; 逆否命题:在ABC中,若AB, 则ab. 跟踪训练2 例 3 跟踪训练3 例 4 证明原命题的逆否命题:已知a,b,c R,若a,b,c都大于或等于 1 3,则 abc 1.由条件知a 1 3, b 1 3 ,c 1 3,三式相加得 abc1. 显然逆否命题为真命题,所以原命题也为真命题,即已知a,b,cR,若abc1,则a, b,c中至少有一个小于 1 3. 跟踪训练4 证明“若a 2 4b22a 10,则a2b1”的逆否命题为“若a2b1,则 a 24b2 2a10” a2b1, a 24b22a 1 (2b1)2 4b 22(2b1)1 4b214b4b24b 21 0. 命题“若a2b1, 则a 24b22a 10”为真命题 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,原命题正确 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当堂训练 12.若 tan 1,则 4 3若a1 且a 1,则直线l1与l2不平行 42 5.1,2
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