高中数学第一章推理与证明1归纳与类比教学案北师大版选修2294.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 归纳与类比 对应学生用书 P2 归 纳 推 理 问题 1:我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属,它们有何物理性质? 提示:都能导电 问题 2:由问题1你能得出什么结论? 提示:一切金属都能导电 问题 3:若数列 an的前四项为2,4,6,8,试写出an. 提示:an2n(nN) 问题 4:上面问题2、3 得出结论有何特点? 提示:都是由几个特殊事例得出一般结论 归纳推理 定义特征 根据一类事物中部分事物具有某种属 性,推断该类事物中每一个事物都有这种属 性,将这种推理方式称为归纳推理. 归纳推理是由部分到整体,由个别到一 般的推理 . 类 比 推
2、理 问题 1:试写出三角形的两个性质 提示: (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的面积等于高与底乘积的 1 2. 问题 2:你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗?试写出来 提示: (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 1 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 问题 3:试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么 提示:由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征,即由特殊到特殊 定义特征 由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据 一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征, 把这种推理过程
3、称为类比推理. 类比推理是两类事物 特征之间的推理. 合情推理与演绎推理 1合情推理的含义 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定 义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 2演绎推理的含义 演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过 程 1归纳推理的特点: (1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践 检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具; (2)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越 可靠 2类比推理的特点
4、: (1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象; (2)如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类 比得出的结论就越可靠; (3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实 践检验,因此,类比推理不能作为数学证明的工具 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应学生用书 P3 数与式的归纳 例 1 已知: 1 1 2;1 1 2 1 31;1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 3 2 ;1 1 2 1 3 1 152; . 根据以上不等式的结构特点,请你归纳一般结论 思路点拨 观察不等式左边最后一项的分母特点为2
5、n1,不等式右边为 n 2,由此可得 一般性结论 精解详析 12 11,3221,723 1,15241,猜想不等式左边最后一项的分 母为 2n1,而不等式右端依次分别为: 1 2, 2 2, 3 2 , 4 2, n 2. 归纳得一般结论:1 1 2 1 3 1 2n1 n 2(nN ) 一点通 根据给出的数与式,归纳一般结论的思路: (1)观察数与式的结构特征,如数、式与符号的关系,代数式的相同或相似之处等; (2)提炼出数、式的变化规律; (3)运用归纳推理写出一般结论 1已知an 1 3 n,把数列 an的各项排成如下的三角形: a1 a2a3a4 a5a6a7a8a9 记A(s,t)
6、表示第s行的第t个数,则A(11,12)( ) A. 1 3 67 B. 1 3 68 C. 1 3 111 D. 1 3 112 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5那么第10 行的最后一个数为a100, 第 11 行的第 12 个数为a112,即A(11,12) 1 3 112. 答案: D 2 (陕西高考 )已知f(x) x 1x, x0, 若f1(x)f(x),fn 1(x)f(fn(x),nN,则f2 014(x) 的表达式为 _ 解析:由f1(x) x 1x? f2(x)f x 1x x 1x 1 x 1x x 12x;又可得 f
7、3(x)f(f2(x) x 12x 1 x 1 2x x 13x,故可猜想 f2 014(x) x 12 014x. 答案: x 12 014x 3已知数列 an 中,a11,an1 an 12an(n1,2,3, ) (1)求a2,a3,a4; (2)归纳猜想数列 an 的通项公式 解: (1)当n1 时,a11, 由an 1 an 12an(nN ),得a2 1 3, a3 a2 12a2 1 5, a4 a3 12a3 1 7. (2)由a11 1 1, a2 1 3, a3 1 5, a4 1 7, 可归纳猜想an 1 2n1 (nN). 图与形的归纳 例 2 某少数民族的刺绣有着悠久
8、的历史,图所示为她们刺绣的最简单的四 个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多,刺绣越漂亮 现按同样的规律 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 刺绣 (小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形 (1)求f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式,并根据你得 到的关系式求出f(n)的表达式; (3)求 1 f1 1 f2 1 1 f31 1 fn1的值 思路点拨 先求出f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)的值,并归纳出n与f(n)的关系,然后即 可解决问题 (2)、(3) 精解详析 (1)f(5)
9、41. (2)f(2)f(1)44 1, f(3)f(2)842, f(4)f(3)1243, f(5)f(4)1644, 由上式规律,得f(n1)f(n)4n. f(n1)f(n)4n, f(n)f(n1)4(n1) f(n2)4(n1)4(n2) f(1)4(n1)4(n2)4(n3) 4 2n22n 1. (3)当n2 时, 1 fn 1 1 2nn1 1 2 1 n1 1 n , 1 f1 1 f21 1 f31 1 fn1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 n1 1 n 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 1 2 1 1 n 3 2 1 2n.
10、 一点通 解决此类问题可以从两个方面入手: (1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与序号的关系 (2)从图形的结构变化规律入手,发现图形的结构每发生一次变化,与上一次比较,数 值发生了怎样的变化 4如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪 烁,下一个呈现出来的图形是( ) 解析:由图可知该五角星对角上亮的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏,故下一个呈现 出来的图形是A 中所示的图形 答案: A 5如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字 标签:原点处标0,点(1,0)处标 1,点(1, 1)处标 2,点(0,1)处标 3,点(1,
11、1)处标 4, 点(1,0)处标 5,点 ( 1,1)处标 6,点 (0,1)处标 7,依此类推,则标签为2 013 2 的格点的坐标 为( ) A(1 006,1 005) B(1 007,1 006) C(1 008,1 007) D(1 009,1 008) 解析:因为点 (1,0)处标 1 1 2,点(2,1)处标 932,点(3,2)处标 2552,点(4,3)处标 4972, 依此类推得点 (1 007,1 006)处标 2 013 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: B 6设平面内有n条直线 (n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同 一点若用
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