高中数学第一章直线多边形圆3圆与四边形学案北师大版选修48.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 圆与四边形 对应学生用书P26 自主学习 1圆内接四边形的性质定理 文字语言符号语言图形语言 性质定理 圆内接四边形的对 角互补 若四边形ABCD内接于圆 O,则有ACB D180 推论 圆内接四边形的任 何一个外角等于它 的内对角 . 四边形ABCD内接于O, E为AB延长线上一点, 则 有CBED 2四点共圆的判定定理 文字语言符号语言图形语言 判定定理 如果一个四边形的内对 角互补,那么这个四边 形四个顶点共圆 在四边形ABCD中, BD180或A C180,那么四 边形ABCD内接于圆 推论 如果四边形的一个外角 等于其内对角,那么这 个
2、四边形的四个顶点共 圆 在四边形ABCD中,延 长AB到E.若CBE D,则A,B,C,D 共圆 合作探究 由圆内接四边形的性质定理知,圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形? 提示:矩形、正方形、等腰梯形 对应学生用书P27 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明四点共圆 例 1 如图所示,在ABC中,ABAC,延长CA到P,再延长AB到 Q,使得APBQ.求证:ABC的外心O与A,P,Q四点共圆 思路点拨 本题主要考查四点共圆的判断解题时,先连接OA,OC, OP,OQ,PQ.要证O,A,P,Q四点共圆,只需证CAOOQP即可, 为此只要证CPOAQO即可 精解详析 如图,连
3、接OA,OC,OP,OQ,PQ. 在OCP和OAQ中,OCOA, OCPOAC. 由已知CAAB,APBQ, CPAQ. 又O是等腰ABC的外心且ABAC, OACOAQ, OCPOAQ. OCPOAQ.APOAQO,OPOQ. OPQOQP. CAO 1 2 BAC 1 2( APQPQA) 1 2 (OPQAPOOQPAQO) 1 2 2OQPOQP. O,A,P,Q四点共圆 判定四点共圆的方法: (1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆 (2)如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)如果一个四边形的一个外角等于它的
4、内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆 (4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个 顶点与斜边中点距离相等) 1在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,DEAB,DFAC,E,F是垂足 求证:E,B,C,F四点共圆 证明:如图,连接EF. DEAB,DFAC, A,E,D,F四点共圆 1 2. 1C 2C90 . BEFC180. B,E,F,C四点共圆 . 证明线段相等或角相等 例 2 如图,AB是O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延 长线于点F. 求证:DEADFA. 思路点拨 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用解题时,
5、只需证A,D,E, F四点共圆后可得结论 精解详析 连接AD, 因为AB为圆的直径,所以ADB90. 又EFAB,EFA90, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以A,D,E,F四点共圆 所以DEADFA. 利用圆内接四边形的判定或性质定理,证明线段相等或角相等时,可构造全等或相似三 角形,以达到证题的目的 2(新课标全国卷)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的 延长线交于点E,且CBCE. (1)证明:DE; (2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明:ADE为等边三角 形 证明: (1)由题设知A,B,C,D四点共圆, 所以DCBE. 由已知
6、CBCE得CBEE,故DE. (2)设BC的中点为N,连接MN,则由MBMC知MNBC,故O在直线MN上 又AD不是O的直径,M为AD的中点, 故OMAD,即MNAD. 所以ADBC,故ACBE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又CBEE,故AE. 由(1)知,DE,所以ADE为等边三角形. 证明比例式问题 例 3 如图,已知CF是O的切线,C为切点,弦ABCF,E为圆周上一点,CE 交AB延长线于点D,求证: (1)ACBC; (2)BC 2 CDCE. 思路点拨 本题主要考查利用圆内接四边形性质定理及相似三角形知识证明比例式问 题解题时,先利用弦切角定理推证(1),再由A,B,
7、E,C四点共圆得出BEDBAC, 后证BCEDCB.可得结论 精解详析 (1)ABCF,FCABAC. CF是O的切线,FCAABC. BACABC.ACBC. (2)BEC180BED, A,B,E,C四点共圆,BEDBAC. BEC180BAC. 由(1)得BACABC, DBC180ABC,BECDBC. 又BCEDCB,BCEDCB. BC DC CE CB,即 BC 2 CDCE. 证明比例式问题常用三角形相似而寻找角的等量关系,圆内接四边形的性质定理往往 起到关键性的作用注意结合图形进行判断,同时注意等量代换的使用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3在ABC中,ABAC,
8、过点A的直线与其外接圆交于 点P,交BC延长线于点D. (1)求证: PC AC PD BD; (2)若AC3,求APAD的值 解: (1)证明:CPDABC,DD, DPCDBA, PC BA PD BD. 又ABAC, PC AC PD BD . (2)ACDAPC,CAPCAP, APCACD, AP AC AC AD, AC2APAD9. 本课时常考查圆内接四边形的判定定理及性质定理的应用该定理在角相等、线段相等 及比例式的证明中有广泛的应用属中低档题 考题印证 如图,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的 顶点重合已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x
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