高中数学第一章直线多边形圆2.4切割线定理2.5相交弦定理学案北师大版选修46.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 24&2.5 切割线定理相交弦定理 对应学生用书P23 自主学习 1切割线定理 (1)文字语言:过圆外一点作圆的一条切线和一条割线,切线长是割线上从这点到两个 交点的线段长的比例中项 (2)符号语言: 从O外一点P引圆的切线PT和割线PAB,T是切点, 则PT2PAPB. (3)图形语言:如图所示 推论: 过圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积,等 于另一条割线上对应线段长的积(割线定理 ) 2相交弦定理 (1)文字语言:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 (2)符号语言: O的两条弦AB和CD相交于圆内的一
2、点P,则PAPB PCPD. (3)图形语言:如图所示 合作探究 1由相交弦定理知,垂直于弦的直径平分弦那么,直径被弦分成的两条线段与弦有 何关系? 提示:弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项 2如图,圆外一点P引圆的两条割线能否有PAABPCCD? 提示:只有PAPC时才有PAPBPCCD成立 对应学生用书P23 切割线定理的应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 1 如图所示,O1与O2相交于A,B两点,AB是O2 的直径,过A点作O1的切线交O2于点E,并与BO1的延长线交 于点P.PB分别与O1,O2交于C,D两点求证: (1)PAPDPEPC; (2)ADAE. 思
3、路点拨 本题主要考查切割线定理的应用解题时由割线定理得PAPEPDPB, 再由切割线定理知PA2PCPB可得结论,然后由(1)进一步可证ADAE. 精解详析 (1)PAE,PDB分别是O2的割线, PAPEPDPB. 又PA,PCB分别是O1的切线和割线, PA 2 PCPB. 由得PAPDPEPC. (2)连接AD,AC,ED, BC是O1的直径,CAB90 . AC是O2的切线 又由 (1)知 PA PE PC PD, ACED.ABED. 又AB是O2 的直径, ? AD ? AE , ADAE. 讨论与圆有关的线段间的相互关系,常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去 解决,通常用
4、分析法揭示解题的思考过程,而用综合法来表示解题的形式 1(湖北高考 )如图,P为O外一点,过P点作O的两条切线,切点分别为A,B. 过PA的中点Q作割线交O于C,D两点若QC1,CD3,则PB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:由切割线定理,得QA 2QCQD 4?QA2,则PBPA2QA4. 答案: 4 相交弦定理的应用 例 2 如图,已知在O中,P是弦AB的中点,过点P作半径OA的垂线分别交O 于C,D两点,垂足是点E. 求证:PCPDAEAO. 思路点拨 由相交弦定理知PCPDAPPB,又P为AB的中点,所以PCPD AP2.在 RtPAO中再使用射影定理即可 精解详析
5、连接OP, P为AB的中点, OPAB,APPB. PEOA, AP 2 AEAO. PDPCPAPBAP 2, PDPCAEAO. 相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起,经常与射影定理、 直角三角形的性质相 结合证明某些结论 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2(湖南高考 )如图,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB3,BC22, 则O的半径等于 解析:设AO,BC的交点为D,由已知可得D为BC的中点,则在 直角三角形ABD中,ADAB2BD 21,设圆的半径为 r,延长AO 交圆O于点E,由圆的相交弦定理可知BDCDADDE,即 (2)2 2r 1,解得r 3 2. 答案
6、: 3 2 相交弦定理与切割线定理的综合应用 例 3 如图所示,已知PA与O相切,A为切点,PBC为割线,弦CDAP,AD、 BC相交于E点,F为CE上一点,且DE 2 EFEC. (1)求证:PEDF; (2)求证:CEEBEFEP. (3)若CEBE32,DE 6,EF4,求PA的长 思路点拨 本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用解题时先证CED DEF,同时利用平行关系可证(1);然后证明DEFPEA,结合相交弦定理可证(2);最 后由切割线定理可求PA. 精解详析 (1)证明:DE 2 EFEC, DEECEFED. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DEF是公共角,C
7、EDDEF. EDFC. CDAP,CP. PEDF. (2)证明:PEDF,DEFPEA, DEFPEA. DEPEEFEA, 即EFEPDEEA. 弦AD,BC相交于点E, DEEACEEB. CEEBEFEP. (3)DE 2 EFEC,DE6,EF4, EC9.CEBE 32,BE 6. CEEBEFEP, 96 4EP. 解得EP 27 2 . PBPEBE 15 2 ,PCPEEC 45 2 . 由切割线定理得PA2PBPC. PA 2 15 2 45 2 .PA 15 2 3. 解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理,同时注意相似三角形及 平行过渡传递等量关系的应
8、用 3如图,E是O内两弦AB和CD的交点,直线EFCB,交AD的延长线于点F, FC与圆交于点G.求证: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)DFEEFA; (2)EFGCFE. 证明: (1)EFCB, DEFDCB. DCB和DAB都是 ? DB 上的圆周角, DABDCBDEF. DFEEFA,DFEEFA. (2)由(1)知:DFEEFA, EF AF FD FE . 即EF2FAFD. 由割线定理得FAFDFGFC. EF2FGFC, 即 EF GF FC FE. 又EFGCFE,EFGCFE. 本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用难度中档,是高考命题的热点内容 考
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- 高中数学 第一章 直线 多边形 2.4 切割 定理 2.5 相交 理学 北师大 选修 46
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