高中数学第一章直线多边形圆2.2圆的切线的判定和性质学案北师大版选修42.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22 圆的切线的判定和性质 对应学生用书P15 自主学习 1切线的判定定理 文字语言符号语言图形语言 切线的判定定理 经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直 线是圆的切线 OA是圆O的半径直 线lOA且Al,则 l是圆O的切线 2切线的性质定理及推论 文字语言符号语言图形语言 切线的性质 定理 圆的切线垂直于经过切 点的半径 直线l与圆O相切于点 A,则lOA 推论 1 经过圆心且垂直于切线 的直线经过切点 直线l与圆O相切于点 A.过O作直线ml,则 Am 推论 2 经过切点且垂直于切线 的直线经过圆心 直线l与圆O相切于点A 过A作直线ml,则O
2、 m 3切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线,这两条切线长相等 合作探究 怎样求圆的切线长? 提示:利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长 对应学生用书P16 切线的判定定理的应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 1 如图,在ABC中,C90,BE是角平分线,DEBE交AB于D,O 是BDE的外接圆求证:AC是O的切线 思路点拨 本题主要考查切线的判定问题,解此题时只需证明ACOE即可 精解详析 连接OE. OEOB, OEBOBE. 又BE平分CBD, CBEDBE. OEBCBE. EOCB. C90,AEO90,即ACOE. E为O半径OE的外端, AC是O的切线 证
3、明直线与圆相切一般有以下几种方法: (1)直线与圆只有一个公共点; (2)圆心到直线的距离等于圆的半径; (3)切线的判定定理 几何证明问题常用方法(3) 1如图,AB是O的直径,BC交O于点D,DEAC于点E,要使DE是O的 切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是( ) ADEDOBABAC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 CCDDBDACOD 解析:选 A 当ABAC时,如图: 连接AD, 因为AB是O的直径, 所以ADBC, 所以CDBD, 因为AOBO, 所以OD是ABC的中位线, 所以ODAC, 因为DEAC,所以DEOD, 所以DE是O的切线所以B 正确 当CDB
4、D时,AOBO, 同 B,所以 C 正确 当ACOD时,因为DEAC, 所以DEOD. 所以DE是O的切线 所以 D 正确 2已知D是ABC的边AC上的一点,ADDC21,C45,ADB60, 求证:AB是BCD的外接圆的切线 证明:如图,连接OB,OC,OD,OD交BC于E. DCB是 ? BD 所对的圆周角, BOD是 ? BD 所对的圆心角, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BCD45,BOD90. ADB是BCD的一个外角, DBCADBACB 60 45 15, DOC 2DBC30,从而BOC120. OBOC,OBCOCB30. 在OEC中,EOCECO30, OEEC
5、.在BOE中, BOE90,EBO30, BE2OE2EC, CE BE CD DA 1 2, ABOD.ABO90, 故AB是BCD的外接圆的切线. 切线的性质定理的应用 例 2 如图,已知C90,点O在AC上,CD为O的直径,O切AB于E, 若BC5,AC12.求O的半径 思路点拨 O切AB于点E,由圆的切线的性质,易联想到连接OE构造 RtOAE, 再利用相似三角形的性质,求出O的半径 精解详析 连接OE, AB与O切于点E, OEAB, 即OEA90. C90,AA, RtACBRtAEO, OE BC AO AB. BC5,AC 12,AB 13, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧
6、萧整理 OE 5 12OE 13 ,OE 10 3 . 即O的半径为 10 3 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线,其中连接圆心和切点 的半径是常用辅助线,从而可以构造直角三角形,利用直角三角形边角关系求解,或利用勾 股定理求解,或利用三角形相似求解等 3.如图,AB切O于点B,延长AO交O于点C,连接BC.若A 40,则C( ) A 20B25 C40D50 解析:选 B 连接OB,因为AB切O于点B, 所以OBAB,即ABO90, 所以AOB 50, 又因为点C在AO的延长线上,且在O上, 所以C 1 2 AOB25. 4AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆
7、O的切 线交AB延长线于点C,若DADC,求证:AB 2BC. 证明:连接OD,则ODDC, 又OAOD,DADC, 所以DAOODADCO, DOCDAOODA2DCO, 所以DCO30,DOC60, 所以OC2OD,即OBBCODOA. 所以AB2BC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 3 如图,在ABC中,ABAC,以AB为直径的O交BC于D,过D作O的 切线交AC于E.求证:DEAC. 思路点拨 本题主要考查切线性质定理的应用解题时由于DE是O的切线,则OD DE,故要证DEAC,只需证明ODAC即可 精解详析 连接OD、AD,如图 AB为O直径,ADBC. ABAC,即
8、ABC为等腰三角形, AD为BC边上的中线, 即BDDC. 又OAOB, OD为ABC的中位线 ODAC. DE切O于D,ODDE. DEAC. 与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系,这是解决圆的切 线问题的一个关键点 5如图,PA,PB是O的切线,A,B是切点,AC是O的直径,BAC20, 求P的度数 解:如图,连接OB,OAOB,OAAP,OBBP, OAPOBP90,OABOBA. 又BAC20, OBA20,BAP90BAC70, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABP90OBA70. P180BAPABP40 . 6.如图,已知AD为O的直径,B为A
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