高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.1相似三角形判定定理学案新人教B版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.1 相似三角形判定定理 对应学生用书 P1 读教材填要点 1相似三角形的定义及相关概念 如果在两个三角形中,对应角相等、 对应边成比例, 则这两个三角形叫做相似三角形设 相似三角形对应边的比值为k,则k叫做相似比 (或相似系数 ) 2相似三角形判定定理 (1)判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似 (2)判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似 (3)判定定理3:两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似 小问题大思维 1两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系? 提示: 两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况相似三角形
2、的本质特征是“具 有相同形状” ,它们的大小不一定相等,当两个相似三角形的相似比为1 时,两个三角形全 等 2如果两个三角形的两边对应成比例,且有一角相等,那么这两个三角形相似吗? 提示:不一定只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时,这两个三角形才相似 对应学生用书 P1 相似三角形的判定 例 1 如图,若O是ABC内任一点,D,E,F分别是OA, OB,OC的靠近O的三等分点 求证:DEFABC. 思路点拨 本题考查相似三角形判定定理2 的应用解答此题需要根据已知条件,寻 找三角形相似的条件利用三等分点找出对应边成比例即可 精解详析 D,E,F分别是OA,OB,OC靠近点O的三等分点,DE
3、1 3AB, EF 1 3BC,FD 1 3 CA. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DE AB EF BC FD CA 1 3. 由三角形相似的判定定理得DEFABC. 在相似三角形的判定中,应用最多的是判定定理1,因为它的条件最容易寻求,实际证 明当中,要特别注意两个三角形的公共角判定定理2、3 则常见于连续两次证明相似时, 在第二次使用的情况较多 1已知ABC中,BFAC于点F,CEAB于点E,BF和CE相交于点P,求证: (1)BPECPF; (2)EFPBCP. 证明: (1)BFAC于点F, CEAB于点E, BFCCEB. 又CPFBPE, CPFBPE. (2)由(1
4、)得CPFBPE, EP BP FP CP. 又EPFBPC,EFPBCP. 例 2 如图所示,ABCCDB90,ACa,BCb,求当 BD与a,b之间满足怎样的关系时,ABC与CDB相似? 思路点拨 由于ABC与CDB相似且都是直角三角形,因此,只要对应边成比例即 可而斜边肯定是三角形的最大边,所以AC一定与BC对应, 这里要注意分类讨论的运用 精解详析 ABCCDB90, 斜边AC与BC为对应边,以下分两种情况讨论 当 AC BC BC BD时, ABCCDB,即 a b b BD . BD b2 a时, ABCCDB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当 AC BC AB BD
5、时, ABCBDC,即 a b a2b2 BD . 当BD ba 2 b2 a 时,ABCBDC. 故当BD b2 a 或BD ba 2 b2 a 时, ABC与CDB相似 (1)在证明直角三角形相似时,要特别注意直角这一隐含条件的应用 (2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 2如图,BD、CE是ABC的高 求证:ADEABC. 证明:BD、CE是ABC的高, AECADB90. 又AA, AECADB. AD AB AE AC. 又AA, ADEABC. 相似三角形的应用 例 3 如图, 已知在ABC中,ABAC,AD是BC边上的中 线,CFBA,BF交AD于点P,交
6、AC于点E. 求证:BP 2PEPF. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 思路点拨 本题考查相似三角形的判定及其应用,解答本题需要注意AD是等腰 ABC底边上的高,所以PBPC,从而将所求证的结论转化为PC 2 PEPF.进而可以证明 PCEPFC来解决问题 精解详析 连接PC,在ABC中, 因为ABAC,D为BC中点, 所以AD垂直平分BC. 所以PBPC, 1 2. 因为ABAC, 所以ABCACB, 所以ABC 1ACB 2, 即 3 4. 因为CFAB, 所以 3F,所以 4F. 又因为EPCCPF, 所以PCEPFC, 所以 PC PE PF PC,所以 PC 2 PEPF.
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