高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.4锐角三角函数与射影定理学案新人教B.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11.4 锐角三角函数与射影定理 对应学生用书P12 读教材填要点 1锐角三角函数的定义 含有相等锐角的所有直角三角形都相似,锐角三角函数(或三角比 )为: sin 的对边 斜边 ,cos 的邻边 斜边 ,tan 对边 邻边 . 2射影定理 (1)定理的内容:直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项;斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 (2)符号语言表示:如图若CD是 RtABC的斜边AB上的高,则: AC2ADAB BC 2 BDAB CD2ADBD 小问题大思维 1线段的正射影还是线段吗? 提示:不一定当
2、该线段所在的直线与已知直线垂直时,线段的正射影为一个点 2如何用勾股定理证明射影定理? 提示:如图,在RtABC中, AB2AC 2 BC 2, (ADDB)2AC2BC2, AD 22 ADDBDB 2 AC2BC 2, 即 2ADDBAC2AD 2BC2DB2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AC2AD 2 CD2,BC 2DB2 CD2, 2ADDB2CD2,即CD2ADDB. 在 RtACD中,AC2AD 2CD2 AD 2 ADDB AD(ADDB)ADAB, 即AC2ADAB. 在 RtBCD中,BC2CD 2 BD 2 ADDBBD2 BD(ADDB)BDAB, 即B
3、C 2 BDAB. 对应学生用书P13 利用射影定理解决求值问题 例 1 如图,在RtABC中,ACB90,CD是AB边上的高, 已知BD 4,AB29,试求BC,AC和CD的长度 思路点拨 本题考查射影定理与勾股定理的应用解答本题可由已知条件先求出AD, 然后利用射影定理求BC,AC和CD的长度 精解详析 BD4,AB29,AD25. 由射影定理得CD2ADBD25 4100, CD 10.BC 2 BDBA429. BC229. AC 2 ADAB2529,AC529. 运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图形去记忆定理,当所给条件中具备定 理的条件时,可直接运用定理,不具备时可通过
4、作垂线使之满足定理的条件,再运用定理 1在 RtACB中,C90,CDAB于D,若BDAD19,则 tanBCD _. 解析:由射影定理得CD2ADBD, 又BDAD 19, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 令BDx,则AD9x(x0) CD29x2,CD3x. RtCDB中, tanBCD BD CD x 3x 1 3 . 答案: 1 3 利用射影定理解决证明问题 例 2 如图所示,在ABC中,CAB90,ADBC于D,BE 是ABC的平分线,交AD于F. 求证: DF AF AE EC. 思路点拨 本题考查射影定理的应用,利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证 得 精解详析 由
5、三角形的内角平分线定理得, 在ABD中, DF AF BD AB, 在ABC中, AE EC AB BC, 在 RtABC中,由射影定理知, AB2BDBC, 即 BD AB AB BC. 由得: DF AF AB BC, 由得: DF AF AE EC. 将原图分成两部分来看,分别在两个三角形中运用射影定理,实现了沟通两个比例式的 目的,在求解此类问题时,一定要注意对图形进行剖析 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2如图,AD、BE是ABC的高,DFAB于F,交BE于G, FD的延长线交AC的延长线于H, 求证:DF 2 FGFH. 证明:BEAC, ABEBAE90. 同理,HHA
6、F90 ABEH.又BFGHFA, BFGHFA. BFHFFGAF. BFAFFGFH. RtADB中,DF2BFAF, DF2FGFH. 对应学生用书P14 一、选择题 1如图所示, 在 RtABC中,ACB90,CDAB于点D, CD2,BD3,则AC等于 ( ) A. 5 3 B. 21 3 C. 52 3 D 1 3 解析:由射影定理知, CD2BDAD,AD 4 3. ABADBD 13 3 . AC2ADAB 4 3 13 3 52 9 . AC 52 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: C 2如图所示,在ABC中,ACB 90,CDAB,D为垂足, 若CD
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