高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.1圆的切线学案新人教B版选修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12.1 圆 的 切 线 对应学生用书P15 读教材填要点 1直线与圆的位置关系 (1)相离:直线和圆没有公共点,称直线和圆相离 (2)相交:如果圆心到一条直线的距离小于半径,则这条直线和该圆一定相交于两点, 此时称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线 (3)相切:如果一条直线与一圆只有一个公共点,则这条直线叫做这个圆的切线,公共 点叫做切点 2圆的切线判定定理 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1:从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等 推论 2:经过圆外的一个已知点和圆心的
2、直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的 角 4三角形的内切圆、旁切圆 (1)内切圆:与一三角形三边都相切的圆,叫做这个三角形的内切圆 (2)旁切圆:与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆,叫做三角形的旁切圆, 一个三角形有三个旁切圆 小问题大思维 1下列关于切线的说法中,正确的有哪些? 与圆有公共点的直线是圆的切线; 垂直于圆的半径的直线是圆的切线; 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线; 过直径的端点,垂直于此直径的直线是圆的切线 提示:由切线的定义及性质可知,只有正确 2圆的切线的判定方法有哪些? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示:圆的切线的判定方法有: (1)定义法:
3、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (2)几何法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 (3)判定定理:过圆的半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线 对应学生用书P16 切线的判定 例 1 如图所示, 已知AB是O的直径,BC是O的切线, 切点为 B,OC平行于弦AD.求证:DC是O的切线 思路点拨 本题考查圆的切线的判定方法解决本题只要证明OD CD即可 精解详析 如图,连接OD. OCAD, 3 1, 4 2. ODOA, 1 2, 4 3. ODOB,OCOC, DOCBOC. CDOCBO. AB是直径,BC是切线, CBO90,CDO90. DC是O的切线 证明某条直线是圆的切
4、线,有以下规律: (1)若已知直线经过圆上的某一点,则需作出经过这一点的半径,证明直线垂直于这条 半径,简记为“连半径,证垂直”; (2)若直线与圆的公共点没确定,应过圆心作直线的垂线,得到垂线段,再证明这条垂 线段的长等于半径,简记为“作垂直,证半径” 1如图所示,在ABC中,已知ABAC,以AB为直径的O交BC于点D,DE AC于点E. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证:DE是O的切线 证明:连接OD和AD,如图所示 AB是O的直径,ADBC. 又ABAC,BDCD. AOOB,ODAC. DEAC,DEOD, DE是O的切线 切线的性质及判定定理的应用 例 2 如图,OA和
5、OB是O的半径, 并且OAOB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交O于Q,过Q作O的切线交OA的 延长线于R, 求证:PQR为等腰三角形 思路点拨 本题考查切线的性质的应用解答本题需要证明PQR中的两个角相等, 因为QR为切线,故可考虑连接OQ,得到垂直关系,然后再证明 精解详析 连接OQ. 因为QR是O的切线,所以OQQR. 因为OBOQ, 所以BOQB. 因为BOOA, 所以BPO90BRPQ, PQR90OQP. 所以RPQPQR. 所以RPRQ,所以PQR为等腰三角形 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)圆的切线的性质定理及它的两个推论,概括起来讲就是三点:经过圆心;切线
6、 长相等;平分切线的夹角 (2)若题目条件中有圆的切线,可考虑连接圆心和切点,则得垂直关系 2.如图,AB是O直径, 弦CDAB,连接AD,并延长交O过 B点的切线于E点,作EGAC交AC的延长线于G点 求证:ACCG. 证明:如图,连接BC交AE于F点 ABCD, 1 3. 又 2 3, 1 2,即AFBF. AB为O的直径,BE为O的切线, 2 490 1 590 , 4 5,即FEBF. 由得AFFE. 又AB为O的直径,BCAG. 又EGAG, BCEG. 由得ACCG. 例 3 某海域直径为30 海里的暗礁区中心有一哨所,值班人员发现有一轮船从哨所正 西方向 45 海里的B处向哨所驶
7、来,哨所及时向轮船发出危险信号,但是轮船没有收到这一 信号,直到又继续前进了15 海里到达C处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号 (1)若轮船收到第一次信号后,为避免触礁,航向改变角度至少为东偏北多少度 (2)当轮船收到第二次信号后,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少 度? 思路点拨 (1)根据题意转化为B作暗礁区域圆的切线问题 (2)与(1)问思路一致,在C处作暗礁区域圆的切线求解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 精解详析 (1)如图所示, 圆心A为暗礁区中心的哨所位置,A的半径为15 海里 过 点B作A的切线,D是切点,连接DA. 由切线的性质定理,知ADB90.
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