高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理章末小结学案新人教B版选修292.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 对应学生用书P32 对应学生用书P32 证明四点共圆问题 证明点共圆的方法有以下几种: (1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上; (2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上; (3)如图,只要具备以下条件之一者,A、B、C、D四点共圆: BACBDC; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BADBCD180; FADBCD; AECEBEDE; AFBFCFDF. 例 1 已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、 F, 求证:C、D、E、F四点共圆 证明 连接
2、EF, 因为四边形ABCD为平行四边形, 所以BC180. 因为四边形ABFE内接于圆, 所以BAEF180. 所以AEFC. 所以C、D、E、F四点共圆 例 2 已知:如图,四边形ABCD中, 1 2. 求证:A、B、C、D四点共圆 证明 由A、B、D三点可以确定一个圆,设该圆为O. (1)如果点C在O的外部 (如图 ) 与圆相交于点E, 1AEB, 1 2, 2AEB. 而AEB 2,矛盾, 故点C不可能在圆外 (2)如果点C在O的内部 (如图 ) 延长BC与圆相交于点E,连接AE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则 1AEB,而 1 2, 2AEB,与 2AEB矛盾, 点C不
3、可能在圆内, 点C只能在圆上 . 证明线段等积式常用的方法 证明命题的一般步骤: (1)弄清题意,辨明题设和结论; (2)用分析法探明证题思路和方法; (3)若已知条件不足,可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件; (4)用综合法有条理地写出证明过程; (5)检查证明过程的合理性 1利用相似三角形 例 3 如图,O和O相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D 两点,连结DB并延长交O于点E.证明: (1)ACBDADAB; (2)ACAE. 证明 (1)由AC与O相切于A, 得CABADB, 同理ACBDAB, 所以ACBDAB.从而 AC AD AB BD , 即ACBDADAB.
4、 (2)由AD与O相切于A,得AEDBAD, 又ADEBDA,得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 EADABD.从而 AE AB AD BD , 即AEBDADAB. 结合 (1)的结论,得ACAE. 2利用三角形内(外 )角平分线的性质 例 4 已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于 A点,DC是ACB的平分线交AE于点F,交AB于D点 (1)求ADF的度数; (2)若ABAC,求ACBC. 解 (1)AC为圆O的切线, BEAC. 又DC是ACB的平分线, ACDDCB. BDCBEACACD, 即ADFAFD, 又因为BE为圆O的直径, DAE90, ADF 1 2(1
5、80 DAE)45. (2)BEAC,ACBACB, ACEBCA, AC BC AE AB. 又ABAC,BACB30. 在 RtABE中, AC BC AE AB tan Btan 30 3 3 . 3利用面积关系 例 5 RtABC中,O是斜边BC上一点,以O为圆心的半圆与两直角边相切于M、 N,如果两直角边分别为a、b,半圆的半径为r. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证: 1 r 1 a 1 b. 证明 连接AO、OM、ON. AB、AC与半圆相切于M、N, OMAB,ONAC. 又设ABa,ACb, 半圆的半径为r, SABC 1 2 ab. 又SABCSAOBSAOC
6、 1 2ar 1 2br 1 2r (ab) abr(ab)则 1 r 1 a 1 b. 4利用射影定理 例 6 如图,AB是O直径,过A作切线,过B作割线交O 于E,交切线于F,过B再作割线交O于C,交切线于D. 求证:BEBFBCBD. 证明 连接AE、AC. AD是切线, BAAD. AB是直径, AEBF,ACBD. AB2BEBF, AB2BCBD. BEBFBCBD. 5利用相交弦定理及切割线定理 例 7 如图所示, 两圆内切于点T,大圆的弦AB切小圆于点C, TA、TB与小圆分别相交于点E、F,FE的延长线交两圆的公切线TP 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于点P. 求
7、证: (1) ? CE ? CF; (2)ACPFBCPT. 证明 (1)设小圆的圆心为点O, 连接OC. AB切小圆于点C, OCAB. 1 3 2, EFAB,OCEF, ? CE ? CF. (2)EFAB, AE BF AT BT TE TF. AB切小圆于点C, AC2AEAT,BC 2 BFBT. AC2 BC 2 AEAT BFBT TE 2 TF2, AC BC TE TF . PT是公切线,PTF 90, TF是O的直径,TEPF,PTFTEF, PT PF TE TF , AC BC PT PF, ACPFBCPT. 平行截割定理的应用 构造出平行关系或作恰当的辅助线是解此
8、类问题的关键,利用成比例或一些特殊的图形 形状是常用的构造平行关系的方法 例 8 如图,已知梯形ABCD中,ADBC,BD、AC交于O点, 过O的直线分别交AB、CD于E、F,EFBC,AD12 cm,BC20 cm, OD OB AD BC .求EF的长 解 ADBC,EFBC, EFAD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OD OB AD BC, AD12 cm,BC20 cm, OD OB 12 20 3 5 , OB BD 5 8. OE AD OB BD 5 8. OE 5 8AD 5 812 15 2 (cm) 同理:OF 3 8BC 3 820 15 2 (cm) EF
9、OEOF15(cm) 例 9 已知:在ABC中,点D在BC边上,过点C任作一直线与边AB及AD分别 交于点F,E. (1)如图 (1),当 BD DC 1 2时,求证: AE ED 3AF 2FB; (2)如图 (2),当 BD DC m n 时,猜想: AE ED 与 AF FB之间是否存在着一定的数量关系?若存在,请 写出它们之间的关系式,并给出证明过程;若不存在,请说明理由 解 (1)证明:过点D作DGCF交AB于G点, AE ED AF FG. 又 BD DC 1 2 ,DC2BD2 3BC. DGFC, FG BF DC BC 2 3. FG 2 3BF, AE ED AF 2 3B
10、F 3AF 2BF. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)当 BD DC m n 时,有关等式: AE ED mn n AF FB. 证明:过D作DGCF交AB于G点 AE ED AF FG. 又 BD DC m n , BC DC mn n . DGFC, BF FG BC DC mn n . FG n mnBF . AE ED AF n mnBF m n n AF BF . 对应学生用书 P35 一、选择题 1.如图,ACB90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与 BC交于点E,则 ( ) ACECBADDB BCECBADAB CADABCD 2 DCEEBCD2 解析:在
11、RtABC中,ACB90,CDAB, CD2ADDB. 又CD是圆的切线,故CD2CECB. CECBADDB. 答案: A 2.如图,直线PB、PD分别交O于A,B和C,D,PA4,AB 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2,CD5,那么线段PC的长是 ( ) A 3 B. 6 5 C10 D1 解析:PA4,AB2, PB6,设PCx,x(x5)46. x25x240. x13,x2 8(舍去 ),即PC3. 答案: A 3如图所示,ABC内接于圆O,过点A的切线交BC的延长 线于点P,D为AB的中点,DP交AC于点M,若BP8,AM4, AC6,则PA ( ) A 4 2 B3
12、2 C. 2 D5 2 解析:由题意MCACAM64 2. 又D为AB的中点,ADBD. 过点C作CNAB交PD于N, AM MC AD CN BD CN BP CP, 8 PC 4 2, PC 4. PA 2 PCPB32, PA4 2. 答案: A 4如图,两个等圆O和O外切,过O作O的两条 切线OA,OB,A,B是切点,则AOB等于 ( ) A 90B60 C45D30 解析:连接OO,OA. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OA为O的切线,OAO 90. 又O与O为等圆且外切, OO 2OA. sinAOO AO OO 1 2, AOO 30. 又由切线长定理知AOB2AOO
13、 60. 答案: B 二、填空题 5如图,EB、EC是O的两条切线,B、C是切点,A、D是O上两点,如果E 46,DCF32,则A的大小为 _ 解析:因为ECEB, 所以EBCECB67, 又DCF32,所以BCD 180 67 32 81. 所以A180BCD99. 答案: 99 6如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF DB,垂足为F,若AB 6,AE1,则DFDB _. 解析:由相交弦定理可知 ED 2 AEEB155, 又易知EBD与FED相似,得DFDBED 25. 答案: 5 7.如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点, 满足ABC 30,过点A作圆O的切线与
14、OC的延长线交于点P,则PA _. 解析:连接OA. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OP为O的切线, OAAP. 又ABC30,AOC60. 在 RtAOP中,OA1,PAOAtan 603. 答案:3 8.如图,PA、PB分别切O于A、B两点,在劣弧 ? AB上任取一点C, 过C作O的切线分别交PA、PB于D、E两点 (1)若PA5,则PDE的周长为 _; (2)若APB50,则DOE_. 解析: (1)由切线长定理知, DCDA,ECEB,PAPB, PDE周长为PDPEDEPDDCPECEPDDAPEEBPAPB 2PA10. (2)连接OC, 因为DA,DC与圆O相切, 所
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