高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例教学案新人教B版必修2.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3 中国古代数学中的算法案例 预习课本 P2732,思考并完成以下问题 (1)如何求两个数的最大公约数? (2)秦九韶算法的原理是什么? 新知初探 1 “更相减损之术” 更相减损之术就是对于给定的两个数,以两数中较大的数减去较小的数,然后将差和较 小的数构成一对新数, 再用较大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差和较小的数相等, 此时相等的两数便为两个原数的最大公约数 2割圆术 割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注九章算术 中所采用的用正多边形面积逐渐 逼近圆面积的算法计算圆周率的方法 3秦九韶算法 把一元n次多项式函数P(x)anxnan1x
2、n 1a1xa0改写: P(x)anxnan 1xn 1a1xa0 (anxn 1an1xn2a1)xa0 (anxn2an 1xn3a2)xa1)xa0 (anxan 1)xan 2)xa1)xa0, 令vk( (anxan 1)xan (k1)xank, 则递推公式为 v0an, vkvk 1xank 其中k1,2,n. 这样求一元n次多项式P(x)的值就转化为求n个一次多项式的值,这种求n次多项式值 的方法就叫做秦九韶算法 小试身手 1用更相减损术求98与 63 的最大公约数时,需做减法的次数为( ) A 4 B5 C6 D7 解析:选 C (98,63)(35,63) (35,28)(
3、7,28) (7,21) (7,14)(7,7),共进行6 次减法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2225与 150的最大公约数是( ) A 15 B30 C45 D75 解析:选 D 因为 (225,150) (75,150)(75,75),所以 225与 150的最大公约数是75. 3已知多项式f(x)4x5 3x42x3x2x 1 2,用秦九韶算法求 f(2)等于 ( ) A 197 2 B. 197 2 C. 183 2 D 183 2 解析:选 A f(x)(4x3)x2)x1)x1)x 1 2, f(2) 197 2 . 4用圆内接正多边形逼近圆,因而得到的圆周率总是_
4、的实际值 解析:用割圆术法求出的是的不足近似值 答案:小于 求最大公约数 典例 求 261和 319的最大公约数 解 31926158, (261,319) (261,58) (203,58)(145,58)(87,58)(29,58) (29,29), 所以 319与 261的最大 公约数是29. “更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤 第一步,给定两个正整数m,n(mn) 第二步,计算mn所得的差k. 第三步,比较n与k的大小,其中大者用m表示,小者用n表示 第四步,若mn,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步 活学活用 1用更相减损之术求36 与 135的最大公约数,需做
5、减法的次数是_ 解析: (135,36)(99,36)(63,36)(36,27)(27,9)(18,9)(9,9),故共进行了6 次减法运 算 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: 6 2求 378与 90的最大公约数 解:法一: 37890288, 28890 198, 19890 108, 10890 18, 901872, 721854, 541836, 361818, 378与 90的最大公约数是18. 法二: 37890418, 90185, 378与 90的最大公约数是18. 用秦九韶算法求多项式的值 典例 用秦九韶算法求多项式f(x)8x75x63x42x1,当x2
6、 时的值 解 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)8x7 5x6 0x53x40x30x2 2x1(8x5)x 0)x 3)x0)x0)x 2)x1. 而x2,所以有 v0 8, v1 82521, v2 212 042, v3 422 387, v4 872 0174, v5 17420348, v6 34822698, v7 698211 397. 所以当x2 时,多项式的值为1 397. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3 个问题 (1)要正确将多项式的形式进行改写 (2)计算应由内向外依次计算 (3)当多项式函数中间出现空项时
7、,要以系数为零的齐次项补充 活学活用 用秦九韶算法写出当x3 时,f(x)2x54x33x25x 1的值 解:因为f(x)(2x0)x4)x3)x5)x1, v0 2,v12306,v263414,v3143345,v445 35130,v5 13031 391, 所以f(3)391. 层级一学业水平达标 178 与 36的最大公约数是( ) A 24 B18 C12 D6 解析:选 D (78,36)(42,36)(36,6) (6,6) 2用秦九韶算法求多项式f(x)x33x22x 11的值时应把f(x)变形为 ( ) Ax3 (3x2)x 11 B(x3)x2(2x11) C(x1)(x
8、2)x11 D (x3)x 2)x11 解析:选 D f(x)x33x22x11(x 3)x2)x 11. 3已知函数f(x)x32x25x6,则f(10)的值为 _ 解析:由秦九韶算法,得 f(x)x32x25x6 (x22x5)x6 (x2)x 5)x6. 当x10时, f(10)(102)105)106 (8105)106 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 75106 756. 答案: 756 4求 168,54,264的最大公约数 解:为简化运算,先将三个数用2 约简为 84,27,132. 由更相减损之术,先求84 与 27 的最大公约数 842757,57 2730,30
9、27 3, 273 24,24321,21318,18 315, 153 12,1239,936,633, 故 84 与 27 的最大公约数是3. 再求 3 与 132的最大公约数 易知 1323 44,所以 3 与 132的最大公约数就是3. 故 84,27,132的最大公约数是3, 即 168,54,264的最大公约数是6. 层级二应试能力达标 1用更相减损术求459与 357的最大公约数,需要做减法的次数为( ) A 4 B5 C6 D7 解析:选B 459357102,357 102255,255 102153,153 10251,1025151, 所以 459与 357的最大公约数为
10、51,共做减法5次 2用秦九韶算法求多项式f(x)0.5x5 4x43x2x1, 当x3 时的值时,先算的是 ( ) A 33 B0.535 C0.53 4 D(0.534)3 解析:选 C 把多项式表示成如下形式: f(x)(0.5x 4)x0)x3)x1)x1, 按递推方法,由内往外,先算0.5x4 的值 34 830 与 3 289 的最大公约数为( ) A 23 B35 C11 D13 解析:选 A 4 83013 2891 541; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 28921 541207; 1 541720792; 20729223;92423; 23 是 4 830
11、与 3 289的最大公约数 4 根据递推公式 v0an, vkvk1xank, 其中k1,2, ,n, 可得当k2 时,v2的值为 ( ) Av2anxan 1 Bv2(anxan1)xan 2 Cv2 (anxan 1)x Dv2anxan1x 解析:选B 根据秦九韶算法知v0an,v1anxan 1,v2v1xan 2(anxan1)xan 2. 5用“更相减损之术”求128与 48 的最大公约数,第一步应为_ 解析:先求12848 的值,即12848 80. 答案: 1284880 6117与 182的最大公约数等于_ 解析: (117,182) (117,65)(52,65)(52,1
12、3)(39,13)(26,13)(13,13),所以其最大公约 数为 13. 答案: 13 7阅读程序框图,利用秦九韶算法计算多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0,当x x0时,框图中A处应填入 _ 解析:f(x)anxnan 1xn 1a1xa0,先用秦九韶算法改为一次多项式, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x)(anxan1)xan2)xa1)xa0. f1an;k1,f2f1x0an 1; k2,f3f2x0an 2; 归纳得第k次fk1fkx0ank.故A处应填ank. 答案:ank 8用秦九韶算法计算多项式f(x)x612x560x4160x3 240x219
13、2x64,当x2 时 的值 解:将f(x)改写为f(x)(x12)x60)x160)x240)x192)x64,v01,v112 12 10,v2 1026040,v3402160 80,v4 802 24080,v5 80 2192 32,v6 322640.所以f(2) 0,即x2 时,原多项式的值为0. 9现有长度为2.4 米和 5.6 米两种规格的钢筋若干,要焊接一批正方体模型,问怎样设 计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料? 解:为了使所焊接正方体的体积最大,需找出两种规格的钢筋的最大公约数使用更相 减损之术: (5.6,2.4)(3.2,2.4) (0.8,2.4) (0.8,1
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