高中数学第一章解三角形1.2.1正余弦定理在实际中的应用学案含解析新人教A版必修5.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12.1 正、余弦定理在实际中的应用 测量中的基本术语 提出问题 李尧出校门向南前进200米,再向东走了200米,回到自己家中 问题 1:李尧家在学校的哪个方向? 提示:东南方向 问题 2:能否用角度再进一步确定其方位? 提示:可以,南偏东45或东偏南45 . 导入新知 实际测量中的有关名称、术语 称定义图示 基线在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水 平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水 平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方 向线是指正北或正南或正东
2、或正西,方向角小 于 90) 南偏西 60(指以正南方向为始边, 转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过 的水平角 化解疑难 解三角形实际问题的一般步骤,在弄清题意的基础上作出示意图,在图形中分析已知三 角形中哪些元素,需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 测量高度问题 例 1 如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一 是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD200 米, 在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和 30,且CBD 30, 求塔高AB. 解 在 RtABC中,A
3、CB45,若设ABh,则BCh;在 RtABD中,ADB 30,则BD3h. 在BCD中,由余弦定理可得 CD2BC 2 BD22BCBDcosCBD, 即 200 2 h2(3h)2 2h3h 3 2 , 所以h2200 2,解得 h200(h 200舍去 ), 即塔高AB为 200米 类题通法 测量高度问题的要求及注意事项 (1)依题意画图是解决三角形应用题的关键,问题中,如果既有方向角(它是在水平面上 所成的角 ),又有仰 (俯)角(它是在铅垂面上所成的角),在绘制图形时,可画立体图形和平面 图形两个图,以对比分析求解 (2)方向角是相对于在某地而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是
4、哪一点的方 向角从这个意义上来说,方向角是一个动态角,在理解题意时,应把它看活,否则在理解 题意时将可能产生偏差 活学活用 (湖北高考 )如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一 山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m 后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向 上,仰角为30,则此山的高度CD _m. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:由题意,在ABC中,BAC30, ABC180 75 105,故ACB45. 又AB 600 m,故由正弦定理得 600 sin 45 BC sin 30 , 解得BC3002 m. 在 RtBCD中,CDBCtan
5、30 3002 3 3 100 6(m) 答案: 1006 测量角度问题 例 2 如图, 在海岸A处,发现北偏东45方向, 距A处 (31)n mile 的B处有一艘走私船, 在A处北偏西75的方向, 距离A处 2 n mile 的C处的缉私船奉命以103 n mile/h 的速度追截走私船此时,走私 船正以 10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问:缉私船沿着什么方向能最快 追上走私船? 解 设缉私船用t h 在D处追上走私船, 则有CD103t,BD10t, 在ABC中,AB31,AC2,BAC120, 由余弦定理,得 BC 2 AB 2 AC22ABACcos BAC
6、 (31)2222(31)2 cos 120 6, BC6, 且 sin ABC AC BCsin BAC 2 6 3 2 2 2 . ABC45. BC与正北方向垂直 CBD90 30 120, 在BCD中,由正弦定理,得 sin BCD BDsin CBD CD 10tsin 120 103t 1 2, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BCD30 . 即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船 类题通法 解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题; (2)画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角和距离,这样借助于正弦定理或 余弦定理,就容易解决问题了; (3)最后把数学
7、问题还原到实际问题中去 活学活用 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,我 海军护航舰在A处获悉后,立即测出该货船在方位角为45,距离为 10 海里的C处,并测得货船正沿方位角为105的方向,以10 海里 / 小 时的速度向前行驶,我海军护航舰 立即以 103 海里 / 小时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时间 解:设护航舰靠近货船所用时间为t小时在ABC中,根据余弦定理,有 AB2AC2BC 22AC BCcos 120, 可得 (103t)2102(10t)221010tcos 120, 整理得 2t2t10,解得t 1 或t 1 2(舍去 ) 所以护航舰靠
8、近货船需要1 小时 此时AB103,BC10, 又AC10,所以CAB30, 所以护航舰航行的方位角为75. 1.探究距离测量问题 测量距离问题分为三种类型:两点间不可通又不可视,两点间可视但不可达,两点都不 可达 解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三 角形的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【角度一】两点间不相通的距离 例 1 如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方 法为先选定适当的位置C,用经纬仪测出角,再分别测出AC,BC 的长b,a,则可求出A,B两点间的距离 即ABa 2 b22abcos
9、 . 若测得CA400 m,CB600 m,ACB60,试计算AB的长度 解 在ABC中,由余弦定理得 AB2AC2BC 22AC BCcosACB, AB2400 260022 400600cos 60 280 000.AB200 7 m. 即A,B两点间的距离为2007 m. 【角度二】两点间可视但有一点不可到达 例 2 如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达, 要测出A,B的距离,其方法为在A所在的岸边选定一点C,可以测出A,C的距离m,再 借助仪器,测出ACB,CAB,在ABC中,运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC60 m,BAC75,BCA45,则
10、A,B两点间的距离为_m. 解析 ABC180 75 45 60, 所以由正弦定理得 AB sin C AC sin B , AB ACsin C sin B 60sin 45 sin 60 206(m) 即A,B两点间的距离为206 m. 答案 206 【角度三】两点都不可到达 例 3 如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,测出A,B的距离, 其方法为测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CDa,同时在C,D两点分别测得 BCA,ACD,CDB,BDA.在ADC和BDC中,由正弦定理分别计算 出AC和BC,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风
11、萧萧整理 若测得CD 3 2 km,ADBCDB30,ACD60,ACB45,求A, B两点间的距离 解 ADCADBCDB 60,ACD 60, DAC60, ACDC 3 2 . 在BCD中,DBC45,由正弦定理,得 BC DC sinDBCsinBDC 3 2 sin 45 sin 30 6 4 . 在ABC中,由余弦定理,得 AB2AC2BC 22AC BCcos 45 3 4 3 82 3 2 6 4 2 2 3 8. AB 6 4 km. A,B两点间的距离为 6 4 km. 随堂即时演练 1若P在Q的北偏东4450方向上,则Q在P的( ) A东偏北4510方向上 B北偏东455
12、0方向上 C南偏西4450方向上 D西偏南45 50方向上 解析:选 C 如图所示,点Q在点P的南偏西4450的方向上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成 60的视角,从B岛 望C岛和A岛成 75的视角,则B,C间的距离是 ( ) A 103 海里B. 106 3 海里 C52 海里D56 海里 解析:选 D 如图,C180 60 75 45,AB10, 由正弦定理得 10 sin 45 BC sin 60 , BC56(海里 ),故选 D. 3如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两楼,ABBD,CDBD, 从甲楼顶部A处测得乙楼顶
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