高中数学第一章解直角三角形1.2应用举例名师讲义新人教B版必修75.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 应用举例 (1)方向角和方位角各是什么样的角? (2)怎样测量物体的高度? (3)怎样测量物体所在的角度? 新知初探 实际测量中的有关名称、术语 名称定义图示 基线在测量中,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线 上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线 下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水 平角 (指定方向线是指正北或正南 或正东或正西,方向角小于90) 南偏西 60指以正 南方向为始边,转向 目标方向线形成的角 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标 方向线所转过的水
2、平角 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)已知三角形的三个角,能够求其三条边( ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得( ) (3)方位角和方向角是一样的( ) 解析: (1)错误,要解三角形,至少知道这个三角形的一条边长 (2)错误,两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距 离求得 (3)错误方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,而方向角是以观测者 的位置为中心,将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角 ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: (1)(2)(3) 2若P在Q
3、的北偏东4450方向上,则Q在P的( ) A东偏北4510方向上B东偏北 4550方向上 C南偏西4450方向上D西偏南4550方向上 解析:选C 如图所示 3从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为 ( ) AB C90D180 解析:选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图知,故应选B. 4两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km),灯塔A在C北偏东 30,B在C 南偏东 60,则A,B之间距离为 ( ) A.2a km B.3a km Ca km D2a km 解析:选A ABC中,ACBCa,ACB90, 所以AB2a. 测量高度问题 典例 如图,测量河对岸
4、的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与 D.现测得BCD,BDC,CDs,并在点C测得塔顶A的仰角为, 求塔高AB. 解 在BCD中, CBD () 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由正弦定理得 BC sinBDC CD sinCBD. BC CDsinBDC sinCBD ssin sin . 在 RtABC中,ABBCtanACB ssin tan sin . 测量高度问题的两个关注点 (1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求 线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题 (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三
5、角形,仔细规划解题思路 活学活用 1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人 在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45,沿A向北偏东30方向前进100 m 到 达B处,在B处测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是( ) A50 m B 100 m C 120 m D150 m 解析:选 A 如图,设水柱高度是h m,水柱底端为C, 则在ABC 中,A60,ACh,AB100,BC3h,根据余弦定理得,(3h)2 h2100 22 h100cos 60,即h250h 5 0000,解得h50 或h 100(舍去 ),故水柱的高度是50 m. 2.如图所示
6、,在山底A处测得山顶B的仰角CAB45,沿倾斜 角为 30的山坡向山顶走1 000 m 到达S点,又测得山顶仰角DSB 75,则山高BC为_m. 解析:因为SAB45 30 15, SBAABCSBC45 (90 75)30, 所以ASB180SABSBA135. 在ABS中,AB ASsin 135 sin 30 1 000 2 2 1 2 1 0002, 所以BCABsin 45 1 0002 2 2 1 000(m) 答案: 1 000 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 测量角度问题 典例 如图所示,A,B是海面上位于东西方向相距5(33) n mile 的两个观测点 现位于A点
7、北偏东 45方向、B点北偏西60方 向的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点 相距 203 n mile 的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30 n mile/h ,则该救援船到达D点需要多长时间? 解 由题意,知AB 5(33) n mile, DBA90 60 30,DAB 90 45 45, ADB180 (45 30)105. 在DAB中,由正弦定理得 BD sinDAB AB sinADB , 即BD ABsinDAB sinADB 533sin 45 sin 105 533sin 45 sin 45cos 60 cos 45sin 60 103 n mile
8、. 又DBCDBAABC60,BC203 n mile, 在DBC中,由余弦定理,得 CDBD2BC 22BD BCcosDBC 3001 2002103 203 1 2 30 n mile, 则救援船到达D点需要的时间为 30 30 1 h. 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建 筑物的视角等 解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角 形中已知哪些量,需要求哪些量通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形, 然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧
9、萧整理 在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A处 (3 1)n mile的B处有一艘走私船,在A 处北偏西75的方向,距离A2 n mile 的C处的缉私船奉命以103 n mile 的速度追截走私 船此时,走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方 向能最快追上走私船? 解:设缉私船用t h 在D处追上走私船,画出示意图, 则有CD103t,BD10t, 在ABC中,AB31,AC2,BAC120, 由余弦定理, 得BC 2 AB2AC22ABAC cosBAC (3 1) 2222 ( 31) 2 cos 120 6, BC6,且 sinABCAC
10、 BCsin BAC 2 6 3 2 2 2 , ABC45,BC与正北方向成90角 CBD90 30 120,在BCD中,由正弦定理, 得 sinBCD BDsinCBD CD 10tsin 120 103t 1 2, BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船. 测量距离问题 题点一:两点间不可通又不可视 1.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选 定适当的位置C,用经纬仪测出角,再分别测出AC,BC的长b,a,则 可求出A,B两点间的距离 即ABa 2b22ab cos . 若测得CA400 m,CB600 m,ACB60,试计算AB的长 解:在ABC中,由余
11、弦定理得 AB2AC2BC 22ACBCcosACB, AB 2400260022400600cos 60 280 000. AB2007 (m) 即A,B两点间的距离为2007 m. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 题点二:两点间可视但有一点不可到达 2.如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且 B点不可到达,要测出A,B的距离,其方法在A所在的岸边选定一 点C,可以测出A,C的距离m,再借助仪器, 测出ACB,CAB ,在ABC中,运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC60 m,BAC75,BCA45,则A,B两点间的距离为_ m. 解析:ABC180 75 4
12、5 60, 所以由正弦定理得, AB sin C AC sin B, ABAC sin C sin B 60sin 45 sin 60 206(m) 即A,B两点间的距离为206 m. 答案: 206 题点三:两点都不可到达 3.如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,测出A, B的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CDa,同时在 C,D两点分别测得BCA,ACD,CDB,BDA. 在ADC和BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在ABC中,应用余弦定理计 算出AB. 若测得CD 3 2 km,ADBCDB30,ACD60,ACB 45,求A,B 两点间的距离 解:
13、ADCADBCDB60,ACD60, DAC60, ACDC 3 2 . 在BCD中, DBC45, 由正弦定理, 得BC DC sinDBC sin BDC 3 2 sin 45 sin 30 6 4 . 在ABC中,由余弦定理,得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AB2AC2BC 22AC BCcos 45 3 4 3 8 2 3 2 6 4 2 2 3 8. AB 6 4 (km) A,B两点间的距离为 6 4 km. 当A,B两点之间的距离不能直接测量时,求AB的距离分为以下三类: (1)两点间不可通又不可视(如图 ):可取某点C,使得A,B与C之间的距离可直接测量, 测出A
14、Cb,BCa以及ACB,利用余弦定理得: ABa 2 b22abcos . (2)两点间可视但不可到达(如图 ):可选取与B同侧的点C,测出BCa以及ABC和 ACB,先使用内角和定理求出BAC,再利用正弦定理求出AB. (3)两点都不可到达(如图 ):在河边测量对岸两个建筑物之间的距离,可先在一侧选取两 点C,D,测出CDm,ACB,BCD,ADC,ADB,再在BCD中求出BC,在 ADC中求出AC,最后在ABC中,由余弦定理求出AB. 层级一学业水平达标 1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为 4 m,A30,则其跨度AB的长为 ( ) A12 m B8 m C33
15、m D43 m 解析:选D 由题意知,AB30, 所以C180 30 30 120, 由正弦定理得, AB sin C AC sin B, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即AB ACsin C sin B 4sin 120 sin 30 43. 2一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔 68 n mile 的 M处,下午2 时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( ) A. 176 2 n mile/h B346 n mile/h C. 172 2 n mile/h D342 n mile/h 解析:选A 如图所示,在PMN中, PM sin
16、 45 MN sin 120 , MN 683 2 346,v MN 4 176 2 n mile/h. 3若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30,此人往金字塔方向走了80 米到达点B, 测得金字塔顶端的仰角为45,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高 )( ) A110米B112米 C220米D224米 解析:选A 如图,设CD为金字塔,AB80 米设CDh,则由 已知得 (80h) 3 3 h,h40(31)109(米)从选项来看110 最接 近,故选A. 4设甲、乙两幢楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯 角为 30,则甲、乙两幢楼的高分别是( ) A203
17、m, 403 3 m B103 m,203 m C10(32)m,203 m D. 153 2 m, 203 3 m 解析:选A 由题意,知h甲20tan 60 203(m), h乙20tan 60 20tan 30 403 3 (m) 5海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成 60的视角,从B岛望 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C岛和A岛成 75的视角,则B岛与C岛之间的距离是( ) A103 n mile B. 106 3 n mile C52 n mile D56 n mile 解析:选D 由题意,做出示意图,如图,在ABC中,C180 60 75
18、45,由正弦定理,得 BC sin 60 10 sin 45,解得 BC56 (n mile) 6某人从A处出发,沿北偏东60行走 33 km 到B处,再沿正东方向行走2 km 到C 处,则A,C两地的距离为 _km. 解析:如图所示,由题意可知AB33,BC2,ABC150. 由余弦定理,得 AC22742332cos 150 49,AC7. 则A,C两地的距离为7 km. 答案: 7 7坡度为 45的斜坡长为100 m,现在要把坡度改为30,则坡底要伸长_m. 解析:如图,BD100,BDA45,BCA30, 设CDx,所以 (xDA)tan 30DAtan 45, 又DABDcos 45
19、 100 2 2 502, 所以x DAtan 45 tan 30 DA 5021 3 3 502 50(62)m. 答案: 50(62) 8一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转105,爬行10 cm 捕捉到 另一只小虫,这时它向右转135爬行回它的出发点,那么x_cm. 解析:如图所示,设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到 B点,易知在AOB中,AB10 cm,OAB75,ABO45, 则AOB60,由正弦定理知: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x ABsinABO sinAOB 10 sin 45 sin 60 106 3 (cm) 答案: 106 3
20、9.如图, 甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定 方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方 向的B1处,此时两船相距20 海里,当甲船航行20 分钟到达A2处时,乙 船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距102海里,求乙船航行的速度 解:如图,连接A1B2,在A1A2B2中,易知A1A2B260,又易求得A1A2302 1 3 102A2B2, A1A2B2为正三角形, A1B2 102. 在A1B1B2中,易知B1A1B245, (B1B2)2400200220102 2 2 200, B1B2102, 乙船每小时航行302海里 10
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- 高中数学 第一章 直角三角形 1.2 应用 举例 名师 讲义 新人 必修 75
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