高中数学第一章计数原理1.2.1排列第一课时排列与排列数公式学案含解析新人教A版选修27.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时排列与排列数公式 排列的定义 1在学校奖学金发放仪式上,校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念师生 三人站成一排,校长站在中间 问题 1:男生在左边和女生在左边是相同的排法吗? 提示:不是 问题 2:有几种排法? 提示: 2 种,男师女,女师男 2从甲、乙、丙三名同学中选出2 人参加一项活动,其中1 名同学参加上午的活动, 另 1 名同学参加下午的活动 问题 1:让你安排这项活动需分几步?它们是什么? 提示:分两步:第1 步,确定上午的同学;第2 步,确定下午的同学 问题 2:有几种排法? 提示:上午有3 种,下午有2种, 因此共有 32
2、6 种排法 问题 3:甲乙和乙甲是相同的排法吗? 提示:不是甲乙是甲上午、乙下午;乙甲是乙上午、甲下午 排列的定义 从n个不同元素中取出m(mn)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列 排列定义的理解 (1)排列的定义包括两个方面:一是从n个不同的元素中取出元素;二是按一定顺序排 列 (2)两个排列相同的条件:元素相同;元素的排列顺序相同. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 排列数及排列数公式 两个同学从写有数字1,2,3或 4 的卡片中选取卡片进行组数字游戏 问题 1:从这 4 个数字中选出2 个能构成多少个无重复数字的两位数? 提示: 431
3、2 个无重复数字的两位数 问题 2:从这 4 个数字中选出3 个能构成多少个无重复数字的三位数? 提示: 43224 个无重复数字的三位数 问题 3:从n个不同的元素中取出m(mn)个元素排成一列,共有多少种不同的排法? 提示:n(n1)(n 2) (nm1)种不同的排法 排列数定义及表示 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A m n表示 排列数公式 Amnn(n1)(n2)(nm1) 阶乘式 A m n n! nm! (n,mN *,m n) 特殊情况A n nn! ,A0n1,0! 1 排列与排列数的区别 “排列”是指从
4、n个不同的元素中任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,不 是数 “排列数”是指从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,是一个 数符号 A m n只表示排列数,而不表示具体的排列 排列的有关概念 下列问题是排列问题吗? (1)从 1,2,3,4四个数字中,任选两个数字做加法,其结果有多少种不同的可能? (2)从 1,2,3,4四个数字中,任选两个数字做除法有多少种不同的可能? (3)会场有 50 个座位,要求选出3 个座位有多少种方法?若选出3 个座位安排3 位客人 入座,又有多少种方法? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)不是; (2)是; (3)第一问不
5、是,第二问是理由是:由于加法运算满足交换律,所 以选出的两个元素做加法求结果时,与两个元素的位置无关,但列除法算式时,两个元素谁 作除数谁作被除数不一样,此时与位置有关“入座”问题同“排队” ,与顺序有关,故选3 个座位安排3 位客人入座是排列问题 判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征 (1)取出的元素无重复 (2)取出的元素必须按顺序排列元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键 判断下列问题是否为排列问题 (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同); (2)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员; (3)某班 40 名学生在假期相互通信 解:
6、 (1)票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以 不是排列问题 (2)每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排 列问题 (3)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在顺序问题,属于排列问题. 用列举法解决排列问题 写出下列问题的所有排列: (1)从 1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数? (2)由 1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数?试全部列出 (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有 12个不同的两位数 (2)画出树形图,如图
7、所示 由上面的树形图知,所有的四位数为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134,2 143,2 314,2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214, 3 241,3 412,3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312,4 321,共 24 个没有重复数字的四位数 在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方式在操作中先将元素按一 定顺序排出, 然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前 面元素不变的情况下确定第二个元素,
8、再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这 样能不重不漏,然后按树形图写出排列 某药品研究所研制了5 种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4 种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取 两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2两种药或同时用或同时不用,a3,b4 两种药不能同时使用,试写出所有不同试验方法 解:如图 由树形图可写出所有不同试验方法如下:a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2, a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共 14种 . 排列数公式的应用
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