高中数学第一章计数原理1.2.2组合第一课时组合与组合数公式学案含解析新人教A版选修20.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时组合与组合数公式 组合与组合数 从 1,3,5,7中任取两个数相除或相乘 问题 1:所得商和积的个数相同吗? 提示:不相同 问题 2:它们是排列吗? 提示:从 1,3,5,7中任取两个数相除是排列,而相乘不是排列 1组合 一般地, 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合 2组合数 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中 取出m个元素的组合数,用符号Cm n表示 组合定义的理解 (1)组合要求n个元素是不同的,被取出的m个元素也是不同的 (2)无序性是
2、组合的特点,取出的m个元素是不讲顺序的,也就是说元素没有位置的要 求 (3)只要两个组合中的元素完全相同,则无论元素的顺序如何,都是相同的组合,只有 当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. 组合数公式 从 1,3,5,7中任取两个数相除 问题 1:可以得到多少个不同的商? 提示: A 2 44312个不同的商 问题 2:如何用分步法求商的个数? 提示:第1 步,从这四个数中任取两个数,有C24种方法;第2 步,将每个组合中的两 个数排列,有A 2 2种排法由分步乘法计数原理,可得商的个数为 C2 4A 2 2. 问题 3:由问题1、问题 2 你能得出计算C24的公式吗? 积一时之跬步
3、臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示:能因为A 2 4C 2 4A 2 2,所以 C 2 4 A 2 4 A 2 26. 问题 4:你能把问题3 的结论推广到一般吗? 提示:可以,从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到: 第 1 步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有Cmn种不同的取法; 第 2 步,将取出的m个元素全排列,共有A m m种不同的排法 由分步乘法计数原理知,A m nCmnAmm,故 Cmn Amn A m m. 组合数公式 组合数 公式 乘积形式Cm n Amn Amm nn1n2nm1 m! 阶乘形式C m n n! m!nm! 性质 Cm nC nm n
4、; Cm n1C m nCm 1 n 备注 n,mN *,m n; 规定 C0 n1,C n n1 组合数公式Cm n nn 1n2nm1 m! 的分子是连续m个正整数n,n 1, n2,(nm1)的乘积, 即从n开始减小的连续m个自然数的积, 而分母是1,2,3, m的乘积当含有字母的组合式要进行变形论证时,利用此公式较为方便 组合的有关概念 判断下列各事件是排列问题还是组合问题 (1)10个人相互各写一封信,共写多少封信? (2)10个人相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)从 10 个人中选 3 个代表去开会,有多少种选法? (4)从 10 个人里选出3个不同学科的代表,有多少种选法
5、? (1)是排列问题因为发信人与收信人是有区别的 (2)是组合问题因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序的 区别 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)是组合问题因为3 个代表之间没有顺序的区别 (4)是排列问题因为3 个人中,担任哪一学科的代表是有顺序区别的 根据排列与组合的定义进行判断,区分排列与组合问题,先确定完成的是什么事件,然 后看问题是否与顺序有关,与顺序有关的是排列,与顺序无关的是组合 从 5 个不同的元素a,b,c,d,e中取出 2 个,写出所有不同的组合 解:要想写出所有组合,就要先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将 各个组合逐个标
6、出来,如图所示 由此可得所有的组合为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de. 与组合数有关的计算 (1)计算: C4 10C 3 7A 3 3; (2)若 1 C 3 n 1 C4 n 2 C5 n,求 n的取值集合 (1)原式 C4 10A 3 7 10987 432 1 765 2102100. (2)由 6 nn1n2 24 nn1n2n3 240 nn 1n2n 3n4 , 可得n211n120, 解得 1n12. 又nN *,且 n5, 所以n5,6,7,8,9,10,11 所以n的取值集合为 5,6,7,8,9,10,11 在利用组合数公式进行计算、化简时,要
7、灵活运用组合数的性质,一般地,计算C m n时, 若m比较大,可利用性质,不计算Cmn而改为计算Cn m n,在计算组合数之和时,常利用性 质 . 1计算: C 5 8C98100C77. 解:原式 C3 8 C 2 1001 876 321 10099 2 1 564 9505 006. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2求等式 C5 n1C 3 n3 C3 n 3 19 5 中的n的值 解:原方程可变形为 C5n 1 C3 n 31 19 5 ,C5n 1 14 5 C3n3,即 n1n2n 3n4n5 5! 14 5 n3n4n5 3! ,化简整理,得n23n540.解此二次方
8、程,得n 9 或n 6(不合题意,舍去),所以n9 为所求 简单的组合问题 在一次数学竞赛中, 某学校有 12 人通过了初试, 学校要从中选出5人参加市级培训 在 下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选 5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人中只能有1 人参加 (1)从中任取5 人是组合问题,共有C5 12792种不同的选法 (2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9 人中选 2 人,是组合问题,共有C29 36 种不同的选法 (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选 5 人,共有 C59126种不同的选 法 (4)
9、甲、乙、丙三人中只能有1 人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1 人,有 C133 种选法;再从另外9 人中选 4 人,有 C49种选法共有C13C49378种不同的选法 解答简单的组合问题的方法 (1)弄清要做的这件事是什么事; (2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题; (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果 现有 10 名教师,其中男教师6 名,女教师4 名 (1)现要从中选2 名教师去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出 2 名男教师或2 名女教师去外地学习的选法有多少种? (3)现要从中选出男、女教师各2 名去参加会议,有多少种不同的选法? 积一时之跬步臻千
10、里之遥程 马鸣风萧萧整理 解: (1)从 10 名教师中选2 名去参加会议的选法种数为C210 10 9 21 45. (2)可把问题分两类情况: 第 1 类,选出的2 名是男教师有C2 6种选法; 第 2 类,选出的2 名是女教师有C24种选法 根据分类加法计数原理,共有C26C2415621 种不同的选法 (3)从 6 名男教师中选2 名的选法有C26种,从 4 名女教师中选2 名的选法有C24种,根据 分步乘法计数原理,共有C2 6C 2 4 65 21 43 21 90 种不同的选法 3.关注组合数中字母的取值范围 已知: 1 Cm 5 1 Cm 6 7 10Cm 7 ,求m的值 依题
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