高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案含解析新人教A版选修20.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 (ab)n的展开式的二次项系数,当n取正整数时可以表示成如下形式: 问题 1:从上面的表示形式可以直观地看出什么规律? 提示:在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两 行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 问题 2:计算每一行的系数和,你又能看出什么规律? 提示: 2,4,8,16,32,64 ,其系数和为2 n 问题 3:二项式系数的最大值有何规律? 提示:n2,4,6时,中间一项最大;n3,5 时,中间两项最大 二项式系数的性质 性质内容 对称性CmnCnmn
2、,即二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. 增减性 与最大 值 如果二项式的幂指数n是偶数,那么展开式中间一项T +1 2 n 的二项式系数最大 如果n为奇数,那么其展开式中间两项T 1 2 n 与T n+1 +1 2 的二项式系数相等且同时 取得最大值 二项式 系数的 和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n,即 C0 nC 1 nC 2 n C n n2 n. 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于 2 n 1, 即 C1 nC 3 n C5 n C 2 nC 4 nC 6 n 2 n 1. 1求二项式系数最大的项时,要特别注意n的奇偶性,n为奇数时,
3、中间两项的二项 式系数最大;n为偶数时,中间一项的二项式系数最大 2奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,但这并不意味着等号两边二 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 项式系数的个数相同当n为偶数时, 奇数项的二项式系数多一个;当n为奇数时,奇数项 的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同. 与“杨辉三角”有关的问题 如图所示,在“杨辉三角”中,从1 开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列: 1,2,3,3,6,4,10,5 ,记其前n项和为Sn,求S19的值 S19(C2 2C 1 2)(C 2 3C 1 3)(C 2 4C 1 4) (C 2 10 C 1 10) C 2 11
4、(C 1 2 C 1 3C 1 4 C 1 10)(C 2 2 C23 C210C211)(234 10)C312 2109 2 220274. 解决与“杨辉三角”有关问题的一般思路 如图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第_行中从左到右第14 与第 15 个数的比为23. 第 0 行1 第 1 行1 1 第 2 行1 2 1 第 3 行1 3 3 1 第 4 行1 4 6 4 1 第 5 行1 5 10 10 5 1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:由“杨辉三角”知,第1 行中的数是C01,C11;第 2 行中的数是C02,C12, C 2 2;第 3 行中的数是C03
5、, C13,C23,C33;第n行中的数是C0n,C1n,C2n, Cnn.设第n行中从左到 右第 14 与第 15 个数的比为23,则 C13 n C 14 n23,解得 n34. 答案: 34 求二项展开式中系数和 设(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5. 求: (1)a1a2a3a4a5的值; (2)a1a3a5的值; (3)|a1| |a2| |a3| |a4| |a5| 的值 记f(x)(12x)5. (1)a1a2a3a4a5f(1)f(0) 2. (2)f(1)a0a1a2a3a4a5,f(1)a0a1a2a3a4a5, 所以a1a3a5 1 2 1 2 (13
6、5) 122. (3)|a1| |a2| |a3| |a4| |a5| f(1)f(0)3 51 242. “赋值法” 是解决二项式系数问题常用的方法,根据题目要求, 灵活赋予字母所取的不 同值一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x0 可得常数项,令x 1可得 所有项系数之和,令x 1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差 多项式x3x10a0a1(x1)a9(x 1) 9a 10(x1) 10. (1)求a0a1a10; (2)求a0a1a2a3a9a10. 解: (1)令x11, 即令x0,得 0a0a1 1a101 10, 得a0a1a100. (2)令x1 1, 即令x 2
7、,得 (2)3(2)10a0a1a2a3a9a10,得a0a1a2a3a9 a101 016. 二项式系数的性质 已知 x 2 3 3x2 n 的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求展开式中系数最大的项 令x1,则展开式中各项系数和为(13)n22n. 又展开式中二项式系数和为2n, 2 2n 2n 2n32,n5. (1)n5,展开式共6 项, 二项式系数最大的项为第3,4两项, T3C2 5(x 2 3 )3(3x2)290x6, T4C35(x 2 3 )2(3x2)3270x 22
8、3 . (2)设展开式中第k1 项的系数最大, 则由Tk 1Ck 5(x 2 3 )5k(3x2)k 3 kCk 5x 10 4 3 k , 得 3kCk53 k1Ck1 5, 3 kCk 53 k1Ck1 5 , kN, 7 2 k 9 2, k4, 即展开式中系数最大的项为 T5C45x 2 3 (3x2)4405x 26 3 . 1求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项 式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大 2求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变 化情况,一般采用列不等式组、解不等式的方法求得 在x 2
9、x2 8 的展开式中: (1)求二项式系数最大的项 (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 解: (1)二项式系数最大的项为中间项, 即为第 5 项 故T5C4824x28 1 120x 6. (2)因Tk1Ck 8( x)8k 2 x2 k (1)kCk 82 kx4 5k 2 .设第k1 项系数的绝对值最大, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则 Ck8 2k Ck1 82 k1, Ck8 2k Ck1 82 k1, 即 1 8k 2 k1, 2 k 1 9k. 整理得 k5, k6. 于是k5 或 6.故系数的绝对值最大的项是第6 项和第 7项 4.混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项
10、 已知 (2x1) n 的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38, 求 C1nC2nC3n Cn n的值 设(2x1)na0a1xa2x2anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B. 则Aa1a3a5,Ba0a2a4a6, 由已知得BA38, 令x 1 得a0a1a2a3an( 1) n(3)n, 即(a0a2a4a6 ) (a1a3a5a7 )(3)n,即BA(3)n, 所以 (3)n3 8(3)8,所以 n8, 所以 C1nC2n C3n Cnn2nC0n281255. 1求解本题易犯下列问题: 一是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项二是错误地认为38(3)8.三是把
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