高中数学第一章计数原理3第一课时组合与组合数公式教学案北师大版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时组合与组合数公式 对应学生用书P10 组合的有关概念 例 1 给出下列问题: (1)从a,b,c,d四名学生中选两名学生完成一件工作,有多少种不同的安排方法? (2)从a,b,c,d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的安排方 法? (3)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? (4)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果? 在上述问题中,哪些是组合问题,哪些是排列问题? 思路点拨 要分清是组合还是排列问题,只要确定取出的这些元素是否与顺序有关 精解详析 (1)两名学生完成的是同一件工作,
2、没有顺序,是组合问题; (2)两名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题; (3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题; (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题 一点通 区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无 “顺序”,有顺序就 是排列问题, 无顺序就是组合问题要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来,看交换 元素的顺序对结果有无影响,有影响就是 “有序”, 也就是排列问题;没有影响就是 “无序”, 也就是组合问题 1判断下列问题是组合问题,还是排列问题 (1)设集合Aa,b,c,d,则集合A的含有 3 个元素的子集有多少个? (2)从 1,2,3,4四个
3、数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能? (3)从 1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能? (4)会场有 50 个座位,要求选出3 个座位有多少种方法?若选出3 个座位安排3 个客人 入座,又有多少种方法? (5)把 4 本相同的数学书分给5 个学生,每人至多得一本,有多少种分配方法? (6)4 个人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解: (1)组合问题,因为集合中取出元素具有“无序性” (2)组合问题,由于加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加法时,与两个元素 的位置无关 (3)排列问题,
4、两个元素做除法时,谁作除数,谁作被除数不一样,此时与位置有关 (4)第一问是组合问题,第二问是排列问题,“入座”问题同“排队”,与顺序有关 (5)组合问题,由于4 本数学书是相同的,不同的分配方法取决于从5 个学生中选择哪4 个人,这和顺序无关 (6)排列问题,因为5 种工作是不同的,一种分工方法就是从5 种不同的工作中选出4 种,按一定的顺序分配给4 个人,它与顺序有关 有关组合数的计算与证明 例 2 求值: (1)C4 10C37A33;(2)C 98 100C199200; (3)C38n 3nC 3n 21n. 思路点拨 用组合数公式和组合数的性质解决 精解详析 (1)原式 C410A
5、 3 7 10987 4321 765210210 0. (2)C98100 C199200 C2100C1200 10099 2 200 4 9502005 150. (3) 38n 3n, 3n21n, 9.5n10.5. nN,n10. C38n3nC3n21nC2830 C3031C230 C131 3029 21 31466. 一点通 (1)对于组合数的有关运算,除了利用组合数公式外,还要注意利用组合数的 两个性质,对式子进行适当的变形,选择最恰当的公式计算 (2)有关组合数的证明问题,一般先依据组合数的性质化简,再用组合数的阶乘形式证 明 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
6、2若 C2n28,则n的值为 ( ) A 9 B8 C7 D6 解析: C2 n n! 2!n2! nn1 2 28, n(n1)56,即n8. 答案: B 3若 C4n,C5n,C6n成等差数列,则C12n的值为 _ 解析:由已知,得2C 5 nC 4 nC 6 n, 所以 2 n! 5!n5! n! 4!n4! n! 6!n 6! , 整理,得n221n98 0,解得n 7或n 14. 要求 C12 n的值,故 n12,所以n14, 于是 C12 14C 2 14 1413 21 91. 答案: 91 4证明: C m n n mC m 1 n 1. 证明: n mC m 1 n 1 n
7、m n1! m1!n1m1! n! mm1!nm! n! m!nm! Cmn, Cmn n mC m1 n 1成立 . 简单的组合应用题 例 3 (12 分)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1 个黑球 (1)从口袋内取出3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3 个球,使其中含有1 个黑球,有多少种取法? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)从口袋内取出3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 思路点拨 先判断是不是组合问题,再用组合数公式写出结果,最后求值 精解详析 (1)从口袋内的8 个球中取出3 个球,取法种数是C3 8 876 321 56.(4 分) (2)从口袋
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