高中数学第一章计数原理2第二课时排列的应用教学案北师大版选修2278.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二课时排列的应用 对应学生用书 P7 无限制条件的排列问题 例 1 由数字 1,2,3,4可组成多少个无重复数字的正整数? 思路点拨 可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数,再求和 精解详析 第一类:组成一位数有A144 个; 第二类:组成二位数有A2 412 个; 第三类:组成三位数有A3424 个; 第四类:组成四位数有A4 424 个 根据加法原理,一共可以组成412242464个正整数 一点通 对于无限制条件的排列问题,可直接根据排列的定义及排列数公式列式求 解若解决问题时需要分类或分步,则要结合两个计数原理求解 1从 4 种蔬菜品
2、种中选3 种,分别种植在不同土质的3 块土地上进行试验,有多少种 不同的种植方法? 解:从 4 种蔬菜品种中选3 种,分别种在3 块不同土质上,对应于从4 个元素中取出3 个元素的排列数因此不同的种植方法数为A3 4 43224. 故共有 24 种不同的种植方法 2(1)有 3 名大学毕业生到5 个招聘雇员的公司应聘,每个公司至多招聘一名新雇员, 且 3 名大学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,共有多少种不同的招聘方案? (2)有 5 名大学毕业生到3 个招聘雇员的公司应聘,每个公司只招聘一名新雇员,并且不 允许兼职,现假定这三个公司都完成了招聘工作,问共有多少种不同的招聘方案? 解:(1)将
3、5 个招聘雇员的公司看作5 个不同的位置, 从中任选 3 个位置给3 名大学毕业 生,则本题即为从5 个不同元素中任取3个元素的排列问题,所以不同的招聘方案共有A3 5 54360 种 (2)将 5 名大学毕业生看作5个不同的位置,从中任选3 个位置给3 个招聘雇员的公司, 则本题仍为从5 个不同的元素中任取3 个元素的排列问题,所以不同的招聘方案有A3 55 4360 种. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 元素“在”与“不在”型排列问题 例 2 7 名同学站成一排 (1)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? (3)甲、乙不能站在排
4、头和排尾的排法共有多少种? 思路点拨 这是一个有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特 殊元素或位置优先安排的原则 精解详析 (1)先考虑甲站在中间有1 种方法,再在余下的6 个位置排另外6名同学, 共有 A 6 665432 1720种排法 (2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A 2 2种,再在余下的5 个位置排另外5 名同学的排法 有 A 5 5种,共有 A2 2A55215432240 种排法 (3)法一:先考虑在除两端外的5 个位置选2 个安排甲、乙有A25种,再在余下的5 个位 置排另外5 位同学的排法有A 5 5种,共有 A 2 5A 5 5 54543212 400
5、种排法 法二:考虑特殊位置优先法,即两端的排法有A 2 5种,中间5 个位置有 A 5 5种,共有 A 2 5A 5 5 2 400 种排法 一点通 (1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题,既可以从元素入手,也可以 从位置入手,原则是谁“特殊”谁优先 (2)从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在剩余位置上;从位置 入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置注意:无论从元素考虑还是从位置考虑,都要 贯彻到底,不能既考虑元素又考虑位置 3电视台连续播放6 个广告,其中含4 个不同的产品广告和2 个不同的公益广告,要 求首尾必须播放公益广告,则不同的播放方式有( ) A 48种B2
6、4 种 C720种D120种 解析:分两步:第一步先排首尾,第二步再排中间4 个位置,则NA22A4422448. 答案: A 4用 0,1,2这 3个数字,可以排成_个无重复数字的3位数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:组成3位数,相当于将3个元素排在三个位置,但0 不能在首位,首位的排法有 A12,而其余两位排法有A 2 2,由分步乘法原理知,共有A 1 2A 2 2 4种排法 答案: 4 5由 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数,其中小于50 万,又不是5 的 倍数的数有多少个? 解:法一:因为首位和个位上不能排0 和 5,所以先从1,2,3,4中任
7、选 2 个排在首位和个 位,有 A2 4种排法,再排中间 4位数有 A4 4种排法,由分步乘法计数原理,共有 A 2 4A 4 412 24 288个符合要求 法二:六个数位的全排列共有A6 6个,其中有 0 排在首位或个位上的有2A5 5个,还有 5 排 在首位或个位上的也有2A55个,其中不合要求的要减去,但这两种情况都包含0 和 5 分别在 首位或个位上的排法2A44种,所以有A664A55 2A44288个符合要求 . 元素“相邻”与“不相邻”型排列问题 例 3 (8分 )喜羊羊家族的四位成员,与灰太狼、红太狼进行谈判,通过谈判他们握手 言和,准备一起照张合影(排成一排 ) (1)要求
8、喜羊羊的四位成员必须相邻,有多少排法? (2)要求灰太狼、红太狼不相邻,有多少排法? 思路点拨 相邻元素可看作一个集团利用捆绑法,不相邻元素利用插空法 精解详析 (1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素,与灰太狼、 红太狼排队共有A3 3 种排法,又因四位成员交换顺序产生不同排列,所以共有A33A44 144种排法(4 分) (2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好,有A 4 4种排法,第二步让灰太狼、红太狼插四 位成员形成的空(包括两端 ),有 A25种排法,共有A 4 4A25480种排法(8 分) 一点通 (1)相邻问题用捆绑法解决,即把相邻元素看成一个整体作为一个元素与其他 元素排列但不
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