高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算学习导航学案新人教B版必修240.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 集合之间的关系与运算 自主整理 1.集合之间的关系 (1)如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素 ,则称 A 是 B 的子集 (或 B 包含 A),记作 AB 或 BA; 若集合 P 中存在元素不是集合Q 的元素 ,那么 P不包含于Q,或 Q 不包含 P,记作 PQ. (2)若集合 A 是集合 B 的子集 ,且 B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真 子集 ,记作 AB. (3)Venn 图(维恩图 ):在平面内用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合,用这种图形可以形象 地表示集合之间的关系,如图 1-2-1: 图
2、1-2-1 (4)简单性质 : AA,也就是说任何集合是它本身的子集. 空集是任意集合的子集,也就是说 ,对任意集合A,都有A;空集是任意非空集合的真子 集. 若 AB,BC,则 AC;若 AB,BC,则 AC. 集合相等 :构成两个集合的元素完全一样.若 AB 且 BA,则 A=B; 反之 ,若 A=B, 则 AB 且 BA. (5)集合关系与其特征性质之间的关系: 一般地 ,设 A=x|p(x),B=x|q(x). 如果 AB,则 xAxB;反之 ,如果 p(x)q(x),则 A 一定是 B 的子集 . 如果 A=B, 则 p(x)q(x);反之 ,如果 p(x)q(x),则 A=B. 2
3、.交集与并集 (1)一般地 ,对于给定的两个集合A、 B,由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的集合,叫做集合A、 B 的交集 ,记作 A B,即交集 AB=x|x A 且 xB. (2)一般地 ,对于给定的两个集合A、B,由两个集合的所有元素构成的集合,称为集合A 与 B 的 并集 .记作 AB,即并集 AB=x|x A 或 xB. (3)简单性质 : AA=A,A =,A B=B A; AA=A,A = A=A,A B=B A; ABAB; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABAB=A,ABAB=B. 3.全集与补集 (1)如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给
4、定的集合为全集,通常记作 U. (2)如果给定集合A 是全集 U 的一个子集 ,由 U 中不属于A 的所有元素构成的集合,叫做 A 在 U 中的补集 ,即若 U 是一个集合 ,AU,则A=x|xU 且 xA, 全集通常用矩形区域表示, 如图 1-2-2. 图 1-2-2 (3)简单性质 :(A)=A; AA=;AA=U. 高手笔记 1.对于给定的问题,首先要做的是判断到底是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系, 然后再应用相应的符号.“”与“”这两个符号无论在意义上还是在书写上都很相近,要 仔细识别和书写.判断集合与集合间的关系关键是要弄清集合中的元素是什么. 2.注意子集符号的应用.AB
5、 是指 AB 或 A=B. 若 AB,可形象理解为B 中元素至少比A 中 元素多一个 .A=B 可从 A 的元素与B 的元素完全一样去理解. 3.一个含有n 个元素的集合,共有 2 n 个子集 .再结合空集、 真子集的知识,可以进一步得出:共有 2n-1 个非空子集 ,2n-1 个真子集 ,2n-2 个非空真子集. 4.在学习中应了解子集、全集、补集的概念实质上即是生活中的“部分”“全体”“剩余”等 概念在数学中的抽象与反映. 5.“集合用图很方便,子交并补很明显”,将满足条件的集合用Venn 图或数轴一一表示出来, 从而求集合的交集、并集、补集.这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法,要注
6、意灵活 运用 . 名师解惑 1.如何正确理解集合的交、并、补运算? 剖析 : (1)集合间交、补、并运算的结果仍然是一个集合.就如同两个数进行加减等运算后结果仍然 是一个数一样 . (2)交集 :要从 xAB,则 xA 且 xB 来理解 ,要理解这里的“且”. AB 是一个新集合的表达式,是由 A 与 B 的所有的公共元素组成的; 当 A 与 B 没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为,同时结合集合的一些特征 去理解 . (3)并集 :xAB,则 xA 或 xB,这里的“或”是指xA,xB,x 同时属于 A 与 B 这三种情 况. (4)补集是在相对于有全集的情况下才有的,所以谈到补集
7、,一定要首先给出全集. 2.处理集合运算问题时应注意什么? 剖析 : (1)处理集合运算问题时,要注意化简集合的表达式.如果集合中含有字母,要注意对字母分类 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 讨论 . (2)在解决有关集合运算题目时,一要把握概念中的关键词,如“所有”“且” “或”等 ;二要把握 它们各自的实质;三要借助数轴 ,应用数形结合的思想. (3)Venn图在集合中起到数形结合的作用,由图可以把一些不明确的数量关系直观地表现出来, 起到化繁为简 ,化抽象为直观的作用. (4)在学习子、交、并、补集的概念时,应注意对“任何一个” “都”“所有”“或” “且”等词 的理解 ,“交集
8、”是指两个集合中所有公共元素所组成的集合,忽略了“交集”概念中的“所 有”两个字就会错误地认为“若 A=1,2,3,B=2,3,4,则 AB=2 ”. “并集” 概念中的 “或” 与生活用语中的“或”含义不同,生活用语中的“或”一般是或此或彼,必具其一 ,不兼有 ,“并 集”概念中的“或”是可兼有的,但不必须兼有 . 讲练互动 【例题 1】设集合 A=-1,1, 集合 B=x|x 2-2ax+b=0, 若 B ,BA,求 a、b 的值 . 分析 :由 B,BA,可见 B 是 A 的子集 .而 A 的子集有三个 :-1 、1 、-1,1. 所以 B 要分三 种情形讨论 . 解: 由 BA,知 B
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