高中数学第一讲2基本不等式学案含解析新人教A版选修6.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2基本不等式 1基本不等式的理解 重要不等式a 2 b22ab和基本不等式 ab 2 ab,成立的条件是不同的前者成立的 条件是a与b都为实数,并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条 件是a与b都为正实数,并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如a0, b0 仍然能使 ab 2 ab成立 两个不等式中等号成立的充要条件都是ab. 2由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2b2 ab 2 2 ; (2)ab a 2 b2 2 ; (3)ab ab 2 2; (4) ab 2 2a 2 b2 2 ; (5)(a
2、b)24ab. 利用基本不等式证明不等式 已知a,b,cR,且abc1. 求证: 1 a 1 b 1 c9. 解答本题可先利用1 进行代换,再用基本不等式来证明 法一:a,b,cR,且abc1, 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a c a a b c b a c b c 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 b a a b c a a c c b b c 3222 9, 当且仅当abc时,等号成立 即 1 a 1 b 1 c9. 法二:a,b,cR,且abc1, 1 a 1 b 1 c(a bc) 1 a 1 b 1 c 1 b a c a a b
3、1 c b a c b c1 3 b a a b c a a c c b b c 3222 9, 当且仅当abc时,等号成立 1 a 1 b 1 c9. 用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使 之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式进行证明 1已知x1,x2,x3为正实数,若x1x2x31,求证: x2 2 x1 x2 3 x2 x2 1 x31. 证明:因为x1,x2,x3为正实数,所以 x22 x1x 1 x23 x2 x2 x21 x3 x32x222x232x212(x1 x2x3)2,当且仅当x1x2x3时,等号成立 所以 x22
4、 x1 x23 x2 x21 x31. 2已知a,b,c0,求证: a 2 b b2 c c2 a abc. 证明:a,b,c, a2 b, b2 c , c2 a均大于 0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又 a 2 b b2 a 2 b b2a, b2 c c2 b2 c c2b,c 2 a a2 c2 a a2c, a 2 b b b2 c c c 2 a a2(abc) 即 a 2 b b2 c c2 a abc. 当且仅当 a 2 b b, b 2 c c, c 2 a a,即abc时,等号成立 . 利用基本不等式求最值 (1)求当x0 时,f(x) 2x x2 1的值域
5、; (2)设 00,y0,且 1 x 9 y1,求 xy的最小值 根据题设条件,合理变形,创造能用基本不等式的条件,求最值 (1)x0,f(x) 2x x21 2 x 1 x . x 1 x2, 00. y4x(32x)22 2x32x 2 2 9 2. 当且仅当 2x32x,即x 3 4时,等号成立 y4x(32x)的最大值为 9 2. (3)x0,y0, 1 x 9 y1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 xy 1 x 9 y (xy) y x 9x y 1061016. 当且仅当 y x 9x y ,又 1 x 9 y1, 即x4,y12 时,上式取等号 故当x4,y12 时,
6、xy的最小值为16. 在应用基本不等式求最值时,分以下三步进行: (1)首先看式子能否出现和(或积 )的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值; (2)其次,看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取( 1)变 为同正; (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足,则可取最值,若不满足,则可通 过函数单调性或导数解决 3已知x0,y0 且 5x 7y20,求xy的最大值 解:xy 1 35(5x7y) 1 35 5x7y 2 2 1 35 20 2 2 20 7 . 当且仅当 5x7y10,即x2,y 10 7 时,等号成立,所以xy的最大值为 20 7 . 4若正
7、数a,b满足abab3,(1)求ab的取值范围;(2)求ab的取值范围 解: (1)a,b R,abab32ab3. 令yab,得y22y30,y3 或y 1(舍去 ) aby29.ab的取值范围是 1 7 1 3b2 3a2 43a2 3b2 4 1 7 5 2 3b2 3a 2 43a2 3b2 9 7 , 当且仅当 3b2 3a2 43a2 3b2 ,即a 1 9 ,b 8 9时取等号 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 1 3a2 4 3b2的最小值为 9 7. 利用基本不等式解决实际问题 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2017年春节期间进行一系列 促销活
8、动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x 与t1 成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1 万件,已知2017年 生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3 万元,每生产1 万件化妆品需要投入32 万元 的生产费用, 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和, 则当年生产的化妆品正好能销完 (1)将 2017年的利润y(万元 )表示为促销费t(万元 )的函数; (2)该企业 2017年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (1)两个基本关系式是解答关键,即利润销售收入生产成本促销费;生产成本 固定费用生产费用;
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