高中数学第一讲3三个正数的算术几何平均不等式优化练习新人教A版选修5.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 三个正数的算术 -几何平均不等式 课时作业 A 组基础巩固 1设x,y,z0 且xyz6,则 lg xlg ylg z的取值范围是 ( ) A(, lg 6 B(, 3lg 2 Clg 6, ) D3lg 2, ) 解析: lg x lg ylg zlg(xyz), 而xyz xyz 3 323, lg xlg ylg z lg 2 3 3lg 2,当且仅当 xyz2 时,取等号 答案: B 2函数yx2(15x)(0x 1 5)的最大值为 ( ) A. 4 675 B. 2 657 C. 4 645 D. 2 675 解析: 0x 1 5, 1
2、5 x0, yx2(15x) 4 25 5 2x 5 2x(15x) 4 25 5 2x 5 2x 15x 3 3 4 675. 当且仅当 5 2 x15x, 即x 2 15时取“”,故选 A. 答案: A 3已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是( ) AVBV CV 1 8 DV 1 8 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:如图,设圆柱半径为R,高为h,则 4R2h6,即 2Rh3. VShR2hRRh RRh 3 3,当且仅当 RRh 1时取 等号 答案: B 4设a,b,cR,且abc1,若M 1 a1 1 b1 1 c1 ,则必有 ( ) A0M0,y2
3、x 1 x2 (x 1 x) 224, 当且仅当x 1 x,即 x1 时取等号 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: C 6若x0,则函数y4x2 1 x的最小值是 _ 解析:x0, y4x2 1 x4x 2 1 2x 1 2x 3 3 4x2 1 2x 1 2x 3. 当且仅当4x2 1 2x(x0), 即x 1 2时,取“”, 当x 1 2时, y4x2 1 x(x0)的最小值为 3. 答案: 3 7若a2,b3,则ab 1 a2b 3 的最小值为 _ 解析:a2,b3,a20,b30, ab 1 a2b3 (a2)(b3) 1 a2b3 5 3 3 a2b3 1 a 2b3
4、5 358(当且仅当a3,b 4时等号成立 ) 答案: 8 8设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为_ 解析:设底面边长为x,高为h,则 3 4 x 2 hV, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以h 43V 3x2 , 又S表2 3 4 x23xh 3 2 x23x 43V 3x2 3 2 x2 43V x 3 2 x2 8V x 3 2 x2 4V x 4V x 3 2 3316V 23 3 3 2V 2, 当且仅当x2 4V x ,即x 3 4V时,S表最小 答案: 3 4V 9已知x,y均为正数,且xy,求证: 2x 1 x22xyy22y 3.
5、 证明:因为x0,y0,xy0, 2x 1 x22xyy22y 2(xy) 1 xy 2 (xy)(xy) 1 xy 2 3 3 xy 2 1 xy 23, 所以 2x 1 x22xyy22 y3. 10如图 (1)所示, 将边长为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线 折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器的容积最大值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析:设正六棱柱容器底面边长为x(x0),高为h,由图可有2h3x3, h 3 2 (1x), VS底h 6 3 4 x2h 33 2 x2 3 2 (1x) 23 33 2 x 2
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