高中数学第一讲3三个正数的算术几何平均不等式学案含解析新人教A版选修5.pdf
《高中数学第一讲3三个正数的算术几何平均不等式学案含解析新人教A版选修5.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一讲3三个正数的算术几何平均不等式学案含解析新人教A版选修5.pdf(9页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3三个正数的算术几何平均不等式 1定理 3 如果a,b,cR,那么 abc 3 3 abc,当且仅当abc时,等号成立,用文字语 言可叙述为:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 (1)不等式 abc 3 3 abc成立的条件是:a,b,c均为正数,而等号成立的条件是:当 且仅当abc. (2)定理 3 可变形为:abc abc 3 3; a3b3c33abc. (3)三个及三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用 条件是一样的,即“一正、二定、三相等” 2定理 3 的推广 对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于
2、它们的几何平均,即a 1a2an n n a1a2an,当且仅当a1a2an时,等号成立 用平均不等式证明不等式 已知a,b,cR,求证: bca a cab b abc c 3. 欲证不等式的右边为常数3,联想到不等式abc33abc(a,b,cR),故将所 证不等式的左边进行恰当的变形 bca a cab b abc c b a c b a c c a a b b c 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 3 b a c b a c 3 3 c a a b b c3 633. 当且仅当abc时,等号成立 (1)不等式的证明方法较多,关键是从式子的结构入手进行分析 (2)运用三个
3、正数的平均不等式证明不等式时,仍要注意“一正、二定、三相等”,在解 题中,若两次用平均值不等式,则只有在“相等”条件相同时,才能取到等号 1已知x 0,y0,求证: (1xy2)(1x2y)9xy. 证明:因为x0,y0,所以 1xy233xy20, 1x2y3 3 x2y0,故 (1xy2)(1x2y)33xy233x2y9xy. 2已知a1,a2,an都是正数,且a1a2an1,求证: (2a1)(2a2) (2an)3 n. 证明:a1是正数,根据三个正数的平均不等式,有2a111a13 3 a1. 同理 2aj 3 3 aj(j2,3,n) 将上述各不等式的两边分别相乘即得(2a1)(
4、2a2) (2an)(3 3 a1)(33a2)(3 3 an) 3n 3 a1a2an. a1a2an1, (2a1)(2a2)(2an)3n. 当且仅当a1a2an 1时,等号成立. 用平均不等式求最值 (1)求函数y(x1)2(3 2x) 11)的最小值 对于积的形式求最大值,应构造和为定值 (2)对于和的形式求最小值,应构造积为定值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)10, x10. y(x1)2(32x)(x1)(x1)(32x) x1x132x 3 3 1 3 3 1 27, 当且仅当x1x132x,即x 4 3 1, 3 2 时,ymax 1 27 . (2)x1,
5、x10, yx 4 x1 2 1 2 (x1) 1 2(x1) 4 x1 21 3 3 1 2 x 1 1 2 x1 4 x 1 2 14, 当且仅当 1 2(x1) 1 2 (x1) 4 x1 2, 即x3 时,等号成立即ymin4. (1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值,可简记为“积定和最小,和定 积最大” (2)应用平均不等式定理,要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时,方 可取得最值, 其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如 配系数、拆项、分离常数、平方变形等 3设x0,则f(x)4x 1 2x2的最大值为 ( ) A 4 2 2 B
6、42 C不存在D. 5 2 解析:选 D x0, f(x)4x 1 2x24 x 2 x 2 1 2x2 43 3 x 2 x 2 1 2x2 4 3 2 5 2. 4已知x,yR且x2y4,试求xy的最小值及达到最小值时x,y的值 解:x,yR且x2y4, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 xy 1 2x 1 2x y3 3 1 4x 2y3 3 1 44 3. 当且仅当 x 2 x 2 y时,等号成立 又x2y4,当x2,y 1时,xy取最小值3. 用平均不等式解应用题 如下图所示, 在一张半径为2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道, 灯挂得 太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第一 三个 正数 算术 几何 平均 不等式 学案含 解析 新人 选修
链接地址:https://www.31doc.com/p-5590549.html