高中数学第一讲一平行线等分线段定理创新应用教学案新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 行线等分线段定理 对应学生用书P1 1平行线等分线段定理 (1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相 等 (2)用符号语言表述:已知abc,直线m、n分别与a、b、c交于 点A、B、C和A、B、C(如图 ),如果ABBC,那么ABB C. 说明 (1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线;它是由三条 或三条以上的平行线组成的 (2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等 2平行线等分线段定理的推论 文字语言图形语言符号语言 推 论 1 经过三角形一边的中点 与另一边平行的直线必
2、 平分第三边 在ABC中,若AB BB,BC平行于BC 交AC于点C, 则AC CC 推 论 2 经过梯形一腰的中点, 且 与底边平行的直线平分 另一腰 在梯形ABCD中,AD BC,若AEEB,EF平 行于BC交DC于F点, 则DFFC 对应学生用书P1 平行线等分线段定理 例 1 已知如图,直线l1l2l3l4,l,l分别交l1,l2,l3,l4于A, B,C,D,A1,B1,C1,D1,ABBCCD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求证:A1B1B1C1C1D1. 思路点拨 直接利用平行线等分线段定理即可 证明 直线l1l2l3,且ABBC, A1B1B1C1. 直线l2l3
3、l4且BCCD, B1C1C1D1, A1B1B1C1C1D1. 平行线等分线段定理的应用非常广泛,在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对 应,分析存在相等关系的线段,并会运用相等线段来进行相关的计算与证明 1已知:如图,l1l2l3,那么下列结论中错误的是( ) A由ABBC可得FGGH B由ABBC可得OBOG C由CE 2CD可得CA2BC D由GH 1 2FH 可得CDDE 解析:OB、OG不 是一条直线被平行线组截得的线段 答案: B 2如图,已知线段AB,求作线段AB的五等分点 作法:如图,(1)作射线AC; (2)在射线AC上依任意长顺次截取ADDEEFFGGH; (3)连接H
4、B; (4)过点G,F,E,D分别作HB的平行线GA1,FA2,EA3,DA4, 分别交AB于点A1,A2,A3,A4. 则A1,A2,A3,A4就是所求的五等分点 证明:过点A作MNHB, 则MNDA4EA3FA2GA1HB. 又ADDEEFFGGH, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AA4A4A3A3A2A2A1A1B(平行线等分线段定理) 平行线等分线段定理推论1的运用 例 2 如图,在ABC中,AD,BF为中线,AD,BF交于G,CEFB交AD的延长 线于E. 求证:AG2DE. 思路点拨 AFFC, GFEC AGGE BDGCDEAG2DE 证明 在AEC中, AFFC,
5、GFEC, AGGE. CEFB, GBDECD,BGDE. 又BDDC, BDGCDE. 故DGDE,即GE2DE, 因此AG2DE. 此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1 的运用,寻找便于证明三角形中线段相 等或平行的条件,再结合三角形全等或相似的知识,达到求解的结果 3.如图,在 ?ABCD中,对角线AC、BD相交于O,OE平行于AB 交BC于E,AD 6,求BE的长 解:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以OAOC,BCAD. 又 因为ABDC,OEAB, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以DCOEAB. 又因为AD6, 所以BEEC 1 2BC 1 2AD 3.
6、4已知:AD是BC边上的中线,E是AD的中点,BE的延长线交AC于点F. 求证:AF 1 3AC. 证明:如图,过D作DGBF交AC于G. 在BCF中,D是BC的中点, DGBF, G为CF的中点即CGGF. 在ADG中,E是AD的中点,EFDG, F是AG的中点即AFFG. AF 1 3AC. 平行线等分线段定理推论2的运用 例 3 已知,如图,梯形ABCD中,ADBC,ABC90,M是 CD的中点,求证:AMBM. 思路点拨 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件 证明 过点M作MEBC交AB于点E, ADBC, ADEMBC. 又M是CD的中点, E是AB的中点 ABC90, ME
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