高中数学第一讲一平行线等分线段定理学案含解析新人教A版选修9.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 平行线等分线段定理 1平行线等分线段定理 (1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相 等 (2)用符号语言表述: 已知abc,直线m,n分别与a,b,c交于点A,B,C和A,B, C(如图 ),如果ABBC,那么ABBC. (1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线,它是由三条 或三条以上的平行线组成的 (2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等 2平行线等分线段定理的推论 (1)推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 (2)推论 2:经过梯形一腰的中点
2、,且与底边平行的直线平分另一腰 推论既可用来平分已知线段,也可用来证明线段的倍数问题 平行线等分线段定理 如图,已知直线l1l2l3l4,l,l分别交l1,l2,l3,l4于A, B,C,D和A1,B1,C1,D1,ABBCCD. 求证:A1B1B1C1C1D1. 直接利用平行线等分线段定理即可 直线l1l2l3,且ABBC,A1B1B1C1. 直线l2l3l4,且BCCD,B1C1C1D1, A1B1B1C1C1D1. 平行线等分线段定理的应用非常广泛,在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对 应,分析存在相等关系的线段,并会运用相等线段来进行相关的计算与证明 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣
3、风萧萧整理 1如图,ABCDEF,且AOODDF,OE6,则BE等于 ( ) A 9 B10 C11 D12 解析:选 A 过O作一直线与AB,CD,EF平行, 因为AOODDF, 由平行线等分线段定理知,BOOCCE, 又OE6,所以BE9. 2如图,已知?ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点A, B,C,D,O分别作直线a的垂线,垂足分别为A,B,C, D,O. 求证:ADBC. 证明: ?ABCD的对角线AC,BD交于O点, OAOC,OBOD. AAa,OOa,CCa,AAOOCC . OAOC. 同理,ODOB.ADBC. 平行线等分线段定理推论1的运用 如图,在ABC中,AD,
4、BF为中线,AD,BF交于点G,CEFB交AD的延长线 于点E. 求证:AG2DE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AFFC,GFECAGGE BDGCDEAG2DE 在AEC中, AFFC,GFEC, AGGE. CEFB, GBDECD,BGDE. 又BDDC, BDGCDE. 故DGDE,即GE2DE, AG 2DE. 此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1 的运用,寻找便于证明三角形中线段相 等或平行的条件,再结合三角形全等或相似的知识,达到求解的结果 3.如图,在 ?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE平行于AB交 BC于E,AD6,求BE的长 解:因为四边形
5、ABCD是平行四边形, 所以OAOC,BCAD. 因为ABDC,OEAB, 所以DCOEAB. 因为AD6, 所以BEEC 1 2BC 1 2AD 3. 4已知:在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,BE的延长线交AC 于点F. 求证:AF 1 3AC. 证明:如图,过D作DGBF交AC于点G. 在BCF中,D是BC的中点, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DGBF, G为CF的中点,即CGGF. 在ADG中,E是AD的中点, EFDG, F是AG的中点,即AFFG. AF 1 3AC. 平行线等分线段定理推论2的运用 如图,已知梯形ABCD中,ADBC,ABC 90,M
6、是CD的中点 求证:AMBM. 解答本题应先通过作辅助线构造推论2 的应用条件 过点M作MEBC交AB于点E. ADBC,ADEMBC. 又M是CD的中点, E是AB的中点 ABC90, ME垂直平分AB. AMBM. 有梯形且存在线段中点时,常过该点作平行线,构造平行线等分线段定理推论2 的基本 图形,进而进行几何证明或计算 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5若将本例中“M是CD的中点”与“AMBM”互换,那么结论是否成立?若成立, 请给予证明 解:结论成立证明如下: 过点M作MEAB于点E, ADBC,ABC 90, ADAB,BCAB. MEAB, MEBCAD. AMBM,且
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