高中数学第一讲三相似三角形的判定及性质2相似三角形的性质学案含解析新人教A版选修4.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2相似三角形的性质 1相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 2两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高,应包括一 切“对应点”连接的线段;同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径 利用相似三角形性质计算 如图,已知ABC中,CEAB于点E,BFAC于点F,若SABC 36 cm
2、2,SAEF 4 cm2,求 sin A的值 由题目条件证明AECAFB,得AEAFACAB,由此推知AEFACB, 进而求出线段EC与AC的比值 CEAB于点E,BFAC于点F, AECAFB90. 又AA,AECAFB. AE AF AC AB. 又AA,AEFACB. AE AC 2S AEF SACB 4 36 . AE AC 2 6 1 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设AEk,则AC3k, EC22k. sin A EC AC 22 3 . 利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有 关,解决此类问题,要善于联想,变换比例式,从而达到
3、目的 1如图,D,E分别是AC,AB上的点,ADEB,AGBC于点G,AFDE于 点F.若AD3,AB5,求: (1)AG AF 的值; (2)ADE与ABC的周长之比; (3)ADE与ABC的面积之比 解: (1)在ADE与ABC中, 因为ADEB,BAD为公共角, 所以ADEABC,所以 AG AF AB AD 5 3. (2)ADE与ABC的周长之比等于它们的相似比, 即ADAB 35. (3)ADE与ABC的面积之比等于它们相似比的平方,即 AD AB 2 9 25. 2.如图,在 ?ABCD中,AEEB23. (1)求AEF与CDF周长的比; (2)若SAEF8,求SCDF. 解:
4、(1)四边形ABCD是平行四边形, ABCD且ABCD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AE EB 2 3, AE AEEB 2 23,即 AE AB 2 5. AE CD 2 5 . 又由ABCD知AEFCDF, AEF的周长CDF的周长 25. (2)SAEFSCDF425, 又SAEF8, SCDF 50. 利用相似三角形的性质解决实际问题 如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,他发现教学楼后面有一水塔DC,可 过了一会抬头一看: “怎么看不到水塔了?”心里很是纳闷经过了解,教学楼、水塔的高 分别是 20 m 和 30 m,它们之间的距离为30 m,小张身高为1.6 m小
5、张要想看到水塔,他 与教学楼之间的距离至少应有多少米? 此题的解法很多,其关键是添加适当的辅助线,构造相似三角形,利用相似三角形的 知识解题 如图,设小张与教学楼的距离至少应有x m,才能看到水塔 连接FD,由题意知,点A在FD上,过F作FGCD于点G,交AB于点H, 则四边形FEBH,四边形BCGH都是矩形 ABCD,AFHDFG. AHDGFHFG. 即(201.6)(301.6)x(x30),解得x55.2(m) 故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m才能看到水塔 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 此类问题是利用数学模型解实际问题,关键在于认真分析题意,将实际问题转化成数学 问
6、题,构造相似三角形求解 3如图,小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移 动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔 18 m,已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m. (1)图中ABC与ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度 解: (1)ABCADE. BCAE,DEAE,ACBAED90. AA,ABCADE. (2)由(1)得ABCADE, AC AE BC DE . AC2 m,AE21820 m,BC1.6 m. 2 20 1.6 DE ,DE16 m. 答:古塔的高度为16 m. 4有一块三角形铁片ABC,已知最长边BC12 cm,高AD
7、8 cm,要把它加工成一 个矩形铁片,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,且矩形的长是宽的 2 倍则加工成的铁片的面积为多少? 解:本题有图(1)和图 (2)两种情况 如图 (1),矩形的长EF在BC上,G、H分别在AC、AB上,高AD交GH于K,设矩 形的宽为xcm,则长为 2xcm.由HGBC,得AHGABC.得AKADHGBC,所 以(8x)82x12,即x 24 7 (cm) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则S矩形EFGH 2x2 1 152 49 (cm2) 如图 (2),矩形的宽MN在BC上,类似地可求得S矩形MNPQ 18(cm 2) 即加工成的铁片
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