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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2绝对值不等式的解法 对应学生用书P13 1|axb| c,|axb| c(c0)型不等式的解法 只需将axb看成一个整体,即化成|x| a,|x| a(a0)型不等式求解 |axb| c(c0)型不等式的解法:先化为caxbc,再由不等式的性质求出原不 等式的解集 不等式 |axb| c(c0)的解法:先化为axbc或axbc,再进一步利用不等式 性质求出原不等式的解集 2|xa| |xb| c和|xa| |xb| c型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给 绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键
2、以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分 类讨论的思想 确定各个绝对值符号内多项式的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关键 通过构造函数,利用函数的图像求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点 并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键 对应学生用书P13 |axb| c与|axb| c(c0)型的不等式的解 法 例 1 解下列不等式: (1)|5x 2| 8; (2)2|x2| 4. 思路点拨 利用 |x|a及|x|0)型不等式的解法求解 解 (1)|5x 2| 8? 5x28 或 5x2 8?x2 或x 6 5, 原不等式的解集为x|x2或
3、x 6 5 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)原不等式价于 |x 2| 2, |x 2| 4. 由得x2 2,或x 22, x0,或x4. 由得 4x 24, 2x6. 原不等式的解集为x| 2x0,或 4x6 |axb| c和|axb| c型不等式的解法: 当c0 时, |axb| c?axbc或axbc, |axb| c? caxbc. 当c0 时, |axb| c的解集为R,|axb|x1. 解: (1)|3 2x|x1 或x23x40 或x22x35 或x0)型不等式的三种解法:分区间(分类 )讨论 法、图像法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图像
4、法直观,但 只适用于数据较简单的情况 2解不等式 |2x1| |3x2| 8. 解: (1)x 2 3时, |2x1| |3x2| 8? 12x(3x2)8. ? 5x9?x 9 5 ,x 9 5; (2) 2 3m. (1)若不等式有解; (2)若不等式解集为R; (3)若不等式解集为? ,分别求出m的范围 思路点拨 解答本题可以先根据绝对值|xa| 的意义或绝对值不等式的性质求出|x 2| |x3| 的最大值和最小值,再分别写出三种情况下m的范围 解 法一:因|x2| |x3| 的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2),B( 3)距离的差 即|x2| |x 3| |PA| |PB
5、|. 由图像知 (|PA| |PB|)max1, (|PA| |PB|)min 1. 即 1 |x2| |x3| 1. (1)若不等式有解,m只要比 |x2| |x3| 的最大值小即可,即ma恒成立 ?f(x)mina. 4把本例中的“”改成“ m时,分别求出m的范围 解: |x2| |x3| |(x2) (x3)| 1, 即|x2| |x 3| 1. (1)若不等式有解,m为任何实数均可, 即mR. (2)若不等式解集为R,即m(, 1) (3)若不等式解集为? ,这样的m不存在,即m? . 对应学生用书P15 1不等式 |x1|3 的解集是 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
6、 A x|x2 Bx| 43 ,则x13 或x12. 答案: A 2不等式 |2x 1| 2 |x3| 0 的解集为 ( ) A. x x 3 2或x 1 2 B.x 1 2 x 3 2 C.x x 3 2或 x 1 2且 x 3 D.x1x 3 2 解析:原不等式? |2x1| 2 x30 ? 2x1 2或2x12 x 3 ? x 1 2或x 3 2, x 3. 答案: C 3不等式 |x1| |x2|0, x2 ? 0x2. 答案: x|0x2 7若关于x的不等式 |x2| |x1| a的解集为 ? ,则a的取值范围为_ 解析:法一:由|x2| |x1| |x2| |1 x| |x2 1x
7、| 3,知a3 时,原 不等式无解 法二:数轴上任一点到2 与 1的距离之和最小值为3. 所以当a3 时,原不等式的解集为? . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案: (, 3 8解不等式 |3x2| |x1| 3. 解: (1)当x 2 3时, |3 x2| |x1| 1x2 3x3 4x,由 34x3 得x0. (2)当 2 3 x1 时,|3x2| |x1| 3x21x2x1,由 2x 13 得x2,x ? . (3)当x1 时, |3x2| |x1| 3x2x14x3,由 4x33 得x 3 2, x 3 2. 故原不等式的解集为 x x 0或x 3 2 . 9已知f(x) |ax2| |axa|(a0) (1)当a1 时,求f(x)x的解集; (2)若不存在实数x,使f(x)3 成立,求a的取值范围 解: (1)当a1 时, f(x)|x 2| |x1| x, 当x2 时,原不等式可转化为x2x1x,解得x3; 当 1x2 时,原不等式可转化为2xx1x,解得x 1,x? ; 当x1 时,原不等式可转化为2x 1xx,解得x1. 综上可得,解集为x|x1 或x3 (2)依题意,对 ?xR,都有f(x) 3, 则f(x)|ax2| |axa| |(ax2) (axa)| |a2| 3, a23 或a2 3, a5 或a 1(舍), a的取值范围是5, )
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