高中数学第一讲四直角三角形的射影定理创新应用教学案新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四 角三角形的射影定理 对应学生用书P14 1射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上 的正射影 (2)线段在直线上的正射影:线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段 (3)射影:点和线段的正射影简称为射影 2射影定理 (1)文字语言: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在 斜边上射影与斜边的比例中项 (2)图形语言:如图,在RtABC中,CD为斜边AB上的高, 则有CD 2 ADBD, AC2ADAB, BC 2 BDAB. 对应学生用书P14 射影定理的有关计算
2、例 1 如图,在RtABC中,CD为斜边AB上的高,若AD 2 cm,DB6 cm,求 CD,AC,BC的长 思路点拨 在直角三角形内求线段的长度,可考虑使用勾股定理和射影定理 解 CD2ADDB2612, CD1223(cm) AC2ADAB2(26)16, AC16 4(cm) BC 2 BDAB6(26)48, BC48 43(cm) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故CD、AC、BC的长分别为23 cm,4 cm,43 cm. (1)在 RtABC中,共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段,已知其中任意两条, 便可求出其余四条 (2)射影定理中每个等积式中含三条线段,
3、若已知两条可求出第三条 1.如图, 在 RtABC中,C90,CD是AB上的高 已知BD 4,AB29,试求出图中其他未知线段的长 解:由射影定理,得BC2BDAB, BCBDAB429 229. 又ADABBD29 425. 且AC2AB2BC 2, ACAB 2 BC2292429529. CD2ADBD, CDADBD25410. 2已知:CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,如果两直角边AC,BC的长度比为 ACBC 34. 求: (1)ADBD的值; (2)若AB25 cm,求CD的长 解: (1)AC2ADAB, BC 2 BDAB, ADAB BDAB AC2 BC2. AD B
4、D (AC BC) 2( 3 4) 2 9 16. (2)AB 25 cm,ADBD916, AD 9 916 259(cm), BD 16 9162516(cm) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 CDADBD91612(cm). 与射影定理有关的证明问题 例 2 如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DFAC, DGBE,F、G分别为垂足 求证:AFACBGBE. 思路点拨 先将图分解成两个基本图形(1)(2),再在简单的图形中 利用射影定理证明所要的结论 证明 CD垂直平分AB, ACD和BDE均为直角三角形,且ADBD. 又DFAC,DGBE, AFACAD 2, BGBE
5、DB 2. AD 2 DB2, AFACBGBE. 将原图分成两部分来看,就可以分别在两个三角形中运用射影定理,实现了沟通两个比 例式的目的 在求解此类问题时,关键就是把握基本图形,从所给图形中分离出基本图形进 行求解或证明 3如图所示,设CD是 RtABC的斜边AB上的高 求证:CACDBCAD. 证明:由射影定理知: CD2ADBD, CA2ADAB, BC 2 BDAB. CACDAD 2BD ABADBDAB, BCADADABBD. 即CACDBCAD. 4RtABC中有正方形DEFG,点D、G分别在AB、AC上,E、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 F在斜边BC上 求证:
6、EF2BEFC. 证明:过点A作AHBC于H. 则DEAHGF. DE AH BE BH, GF AH FC CH. DEGF AH 2 BEFC BHCH. 又AH 2 BHCH, DEGFBEFC. 而DEGFEF, EF2BEFC. 对应学生用书P15 一、选择题 1已知 RtABC中,斜边AB5 cm,BC2 cm,D为AC上一点,DEAB交AB 于E,且AD3.2 cm,则DE( ) A 1.24 cm B1.26 cm C1.28 cm D1.3 cm 解析:如图,AA, RtADE RtABC, AD AB DE BC, DE ADBC AB 3.22 5 1.28. 答案: C
7、 2已知直角三角形中两直角边的比为12,则它们在斜边上的射影比为( ) A 12 B21 C14 D41 解析:设直角三角形两直角边长分别为1 和 2,则斜边长为5,两直角边在斜边上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的射影分别为 1 5 和 4 5 . 答案: C 3一个直角三角形的一条直角边为3 cm,斜边上的高为2.4 cm,则这个直角三角形的 面积为 ( ) A 7.2 cm 2 B6 cm2 C12 cm2D24 cm2 解析:长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为322.4 21.8(cm),由射影定理知斜边长 为 32 1.85(cm), 三角形面积为 1 252.46(
8、cm 2) 答案: B 4如图所示,在ABC中,ACB 90,CDAB,D为垂足 , 若CD6 cm,ADDB12,则AD的值是 ( ) A 6 cm B32 cm C18 cm D36 cm 解析:ADDB12, 可设ADt,DB2t. 又CD2ADDB, 36t2t, 2t 236, t32(cm),即AD32 cm. 答案: B 二、填空题 5若等腰直角三角形的一条直角边长为1,则该三角形在直线l上的射影的最大值为 _ 解析:射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长 答案:2 6如图所示,四边形ABCD是矩形,BEF 90,这 四个三角形能相似的是_ 解析:因为四边形ABCD为矩形, 所以
9、AD90. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为BEF90,所以 1 2 90. 因为 2 390,所以 1 3. 所以ABEDEF. 答案: 7在ABC中,A90,ADBC于点D,AD6,BD12,则CD_, AC_,AB2AC2_. 解析:如图,AB2AD 2 BD2, 又AD6,BD12, AB65. 由射影定理可得,AB2BDBC, BC AB 2 BD 15. CDBCBD15123. 由射影定理可得,AC2CDBC, AC31535. AB2 AC2 BDBC CDBC BD CD 12 3 4. 答案: 3 35 41 三、解答题 8如图:在RtABC中,CD是斜边AB
10、上的高,DE是 RtBCD斜边BC上的高, 若BE6,CE2. 求AD的长是多少 解:因为在RtBCD中,DEBC,所以由射影定理可得:CD2CEBC, 所以CD 216, 因为BD2BEBC, 所以BD6843. 因为在 RtABC中,ACB90, CDAB, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以由射影定理可得: CD2ADBD, 所以AD CD2 BD 16 43 43 3 . 9如图,在ABC中,CDAB于D,且CD2ADBD,求证: ACB90. 证明:CDAB, CDABDC90. 又CD2ADBD, 即ADCDCDBD, ACDCBD.CADBCD. 又ACDCAD90,
11、 ACBACDBCD ACDCAD90. 10已知直角三角形周长为48 cm,一锐角平分线分对边为35 两部分 (1)求直角三角形的三边长; (2)求两直角边在斜边上的射影的长 解: (1)如图,设CD3x,BD5x, 则BC 8x, 过D作DEAB, 由题意可得, DE3x,BE4x, AEAC12x48. 又AEAC, AC24 6x,AB242x. (246x)2(8x)2(242x)2, 解得:x10(舍去 ),x22. AB20,AC12,BC16, 三边长分别为:20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CFAB于F点, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AC2AFAB
12、. AF AC2 AB 122 20 36 5 (cm); 同理:BF BC 2 AB 162 20 64 5 (cm) 两直角边在斜边上的射影长分别为 36 5 cm, 64 5 cm. 对应学生用书P16 近两年高考中, 由于各地的要求不同,所以试题的呈现形式也不同但都主要考查相似 三角形的判定与性质,射影定理,平行线分线段成比例定理;一般试题难度不大,解题中要 注意观察图形特点,巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果在使用平行线分线段成比例 定理及其推论时,一定要搞清有关线段或边的对应关系,切忌搞错比例关系 1.如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB4,CD2,E,F分 别为AD,BC上的
13、点,且EF3,EFAB, 则梯形ABFE与梯形EFCD 的面积比为 _ 解析:由CD2,AB4,EF3, 得EF 1 2 (CDAB), EF是梯形ABCD的中位线, 则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高,设为h, 于是两梯形的面积比为 1 2(34)h 1 2(23)h7 5. 答案: 75 2.如图, 圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上 的射影为E.若AB3AD,则 CE EO的值为 _ 解析:连接AC,BC,则ACB90. 设AD2,则AB6, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于是BD4,OD 1. 如图,由射影定理得CD2ADBD8,则CD22. 在 Rt
14、OCD中,DE ODCD OC 122 3 22 3 . 则CEDC2DE28 8 9 8 3, EOOCCE3 8 3 1 3. 因此 CE EO 8 3 1 3 8. 答案: 8 对应学生用书P16 平行线分线段相关定理 平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交 的直线上截得的线段所呈现的规律,主要用来证明比例式成立、证明直线平行、 计算线段的 长度, 也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法,其中, 平行线等分线段定理是线 段的比为1 的特例 例 1 如图,在ABC中,DEBC,DHGC. 求证:EGBH. 证明 DEBC, AE AC AD AB
15、. DHGC, AH AC AD AG . AEABACADAHAG. AE AH AG AB .EGBH. 例 2 如图,直线l分别交ABC的边BC,CA,AB于点D,E,F,且AF 1 3AB , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BD 5 2BC ,试求 EC AE . 解 作CNAB交DF于点N,并作EGAB交BC于点G, 由平行截割定理,知 BF CN DB DC, CN AF EC AE, 两式相乘,得 BF CN CN AF DB DC EC AE, 即 EC AE BF AF DC DB . 又由AF 1 3 AB,得 BF AF 2, 由BD 5 2BC,得 DC D
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