高中数学第一讲四直角三角形的射影定理学案含解析新人教A版选修4.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四 角三角形的射影定理 1射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上 的正射影 (2)线段在直线上的正射影:线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段 (3)射影:点和线段的正射影简称为射影 2射影定理 (1)文字语言: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜 边上射影与斜边的比例中项 (2)图形语言: 如图,在 RtABC中,CD为斜边AB上的高, 则有CD 2 ADBD, AC2ADAB, BC 2 BDAB. 射影定理的有关计算 如图,在 RtABC中,CD为斜边A
2、B上的高,若AD 2 cm,DB 6 cm,求CD,AC,BC的长 在直角三角形内求线段的长度,可考虑使用勾股定理和射影定理 CD2ADDB2612,CD1223(cm) AC2ADAB2(26)16,AC164(cm) BC 2 BDAB6(26)48,BC4843(cm) 故CD,AC,BC的长分别为23 cm,4 cm,43 cm. (1)在 RtABC中,共有AC,BC,CD,AD,BD和AB六条线段,已知其中任意两条, 便可求出其余四条 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)射影定理中每个等积式中含三条线段,若已知两条可求出第三条 1.如图,在ABC中,ABm,BACABC
3、ACB 123, CDAB于点D.求BD,CD的长 解:设BAC的度数为x, 则由BACABCACB123, 得ABC的度数为2x,ACB的度数为3x. 因为BACABCACB180, 所以x2x3x180,解得x30 . 所以ABC60,ACB90. 因为ABm, 所以BC 1 2m. 又因为CDAB, 所以BC 2 BDAB, 即 1 2m 2 BDm.所以BD 1 4m. ADABBDm 1 4m 3 4m. 由CD2ADBD 3 4m 1 4m 3 16 m2, 得CD 3 4 m. 因此,BD的长是 1 4m, CD的长是 3 4 m. 2已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,如
4、果两直角边AC,BC的长度比为 ACBC 34. 求: (1)ADBD的值; (2)若AB25 cm,求CD的长 解: (1)AC2ADAB, BC 2 BDAB, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ADAB BDAB AC2 BC2. AD BD AC BC 2 3 4 2 9 16. (2)AB 25 cm,ADBD916, AD 9 916 259(cm), BD 16 9162516(cm) CDADBD91612(cm). 利用射影定理证明 如图所示,CD垂直平分AB,点E在CD上,DFAC,DG BE,F,G分别为垂足 求证:AFACBGBE. 先将图分解成两个基本图形(1
5、)(2),再在简单的图形中利用射影 定理证明所要的结论 CD垂直平分AB, ACD和BDE均为直角三角形, 且ADBD. 又DFAC,DGBE, AFACAD 2, BGBEDB 2. AD 2 DB2, AFACBGBE. 将原图分成两部分来看,就可以分别在两个三角形中运用射影定理,实现了沟通两个比 例式的目的 在求解此类问题时,关键就是把握基本图形,从所给图形中分离出基本图形进 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 行求解或证明 3如图, RtABC中有正方形DEFG,点D,G分别在AB,AC上, E,F在斜边BC上 求证:EF2BEFC. 证明:过点A作AHBC于H. 则DEAHGF
6、. DE AH BE BH, GF AH FC CH. DEGF AH 2 BEFC BHCH. 又AH 2 BHCH, DEGFBEFC. 而DEGFEF,EF2BEFC. 4.如图,已知CAB 90,ADCB,ACE,ABF是正三角形, 求证:DEDF. 证明:在 RtABC中, AC2CDCB,AB2BDBC,AD 2 CDBD. 所以 AC AB CD BD CD2 CDBD CD 2 AD 2 CD AD AD BD . 因为ACAE,ABBF, 所以 AE BF AD BD. 又FBD60ABD,EAD60CAD,ABDCAD, 所以FBDEAD, 所以EADFBD. 所以BDFA
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