高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系学案含解析新人教A版选修42.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一 平面直角坐标系 1平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系,从而实现数 与形的结合 (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”:第一步:建立适当坐标系,用坐标和方程表示问 题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算解决代数问题; 第三步:把代数运算结果翻译成几何结论 2平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变 换,这就是用代数方法研究几何变换 (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点
2、,在 变换: x x 0 y y0 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换 求轨迹方程问题 设A是单位圆x2y21 上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l 与x轴的交点, 点M在直线l上,且满足 |DM| m|DA|(m0,且m 1)当点A在圆上运 动时,记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标 设出点M的坐标 (x,y),直接利用条件求解 如图,设M(x,y),A(x0,y0),则由 |DM| m|DA|(m0,且m1), 可得xx0, |y| m|y0| , 所以x0x,|y0|
3、 1 m| y|. 因为A点在单位圆上运动, 所以x20y201. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 将式代入式, 即得所求曲线C的方程为x2 y 2 m21(m0,且 m1) 因为m(0,1)(1, ), 所以当 01 时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为(0,m21),(0,m21) 求轨迹的常用方法 (1)直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,即可用 求曲线方程的步骤直接求解 (2)定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依定义写出轨迹方程 (3)代入法:如果动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1),而Q(x1,y1)又在
4、某已知曲线上, 则可先列出关于x,y,x1,y1的方程组,利用x,y表示x1,y1,把x1,y1代入已知曲线方程 即为所求 (4)参数法:动点P(x,y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示,消去参数即得其轨迹方 程 1二次方程x2axb0 的两根为 sin ,cos ,求点P(a,b)的轨迹方程其中 | 4 . 解:由已知可得 asin cos , bsin cos . 22,得 a 22b1. | 4,由 sin cos 2sin 4 , 知 0a2. 由 sin cos 1 2sin 2 ,知 |b| 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点P(a,b)的轨迹方程是a 22b1
5、(0a 2) 2ABC中,若BC的长度为4,中线AD的长为 3,求点A的轨迹方程 解:取BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则D(0,0), B( 2,0),C(2,0) 设A(x,y)为所求轨迹上任意一点, 则|AD| x2y2. 又|AD| 3, x2y 23,即 x2y29(y0) 点A的轨迹方程为x2y29(y0). 用坐标法解决几何问题 已知ABC中,ABAC,BD,CE分别为两腰上的高求证:BDCE. 由于ABC为等腰三角形,故可以BC为x轴,以BC中点为坐标原点建立直角坐标 系,在坐标系中解决问题 如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面
6、直 角坐标系 设B(a,0),C(a,0),A(0,h) 则直线AC的方程为 y h ax h, 即:hxayah0. 直线AB的方程为y h a xh, 即:hxayah0. 由点到直线的距离公式,得|BD| |2ah| a 2h2, |CE| |2ah| a2h2 . |BD| |CE| ,即BDCE. 建立平面直角坐标系的原则 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则:如果图形有对称中心,选对 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 称中心为原点; 如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴;使图形上的特殊点尽可能 多地在坐标轴上 3求证等腰梯形对角线相等 已知:等腰梯形ABCD中
7、,ADBC.求证:ACBD. 证明:取BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴, 建立如图所示的直角坐标系 设A(a,h),B(b,0), 则D(a,h),C(b,0) |AC| ba 2 h2, |BD| ab 2h2. |AC| |BD| , 即等腰梯形ABCD中,ACBD. 4已知ABC中,D为边BC的中点,求证:AB2AC22(AD 2 BD 2) 证明:以A为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐 标系xOy,则A(0,0) 设B(a,0),C(b,c), 则D ab 2 , c 2 , 所以AD 2 BD 2 ab 2 4 c 2 4 ab 2 4 c 2 4 1 2 (
8、a 2 b2c2), 又AB2AC 2 a 2b2 c 2, 所以AB 2AC22(AD2 BD2). 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 直角坐标系中的伸缩变换 求满足下列图形变换的伸缩变换:由曲线x2y2 1变成曲线 x 2 9 y 2 4 1. 设出变换公式,代入方程,比较系数,得出伸缩变换 设变换为 x x,0, y y,0. 代入方程 x 2 9 y 2 4 1,得 2x2 9 2y2 4 1. 与x2y21 比较,将其变形为 2 9 x2 2 4 y21, 比较系数得 3, 2. x 3x, y 2y. 即将圆x2y21 上所有点横坐标变为原来的3 倍,纵坐标变为原来的2 倍
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