高中数学第一讲本讲知识归纳与达标验收同步配套教学案新人教A版选修97.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一讲 不等式和绝对值不等式 对应学生用书P16 考情分析 从近两年的高考试题来看,绝对值不等式主要考查解法及简单的应用,题目难度中档偏 下,着重考查学生的分类讨论思想及应用能力 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,化成不含绝对值的不等式,其一是依据绝对 值的意义; 其二是先令每一个绝对值等于零,找到分界点, 通过讨论每一区间内的代数式的 符号去掉绝对值 真题体验 1(江西高考 )对任意x,y R,|x1| |x| |y1| |y1| 的最小值为 ( ) A 1 B2 C3 D4 解析: |x1| |x| |y 1| |y1| |x1x| |y1(
2、y1)| 123. 答案: C 2(湖南高考 )不等式 |2x1| 2|x1| 0 的解集为 _ 解析:原不等式即|2x1| 2|x 1| ,两端平方后解得12x3,即x 1 4. 答案:x x 1 4 3(陕西高考 )已知a,b,m,n均为正数,且ab1,mn2,则 (ambn)(bman)的 最小值为 _ 解析: (ambn)(bman)ab(m2n2)mn(a 2 b 2)2mnab mn(a 2 b 2) mn(ab) 2 mn 2, 当且仅当mn2时等号成立 答案: 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4(福建高考 )设不等式 |x2| a(aN)的解集为A,且 3 2 A
3、, 1 2 ?A. (1)求a的值; (2)求函数f(x)|xa| |x2| 的最小值 解:(1)因为 3 2 A,且 1 2 ?A,所以 3 22 a,且 1 22 a,解得 1 2 a 3 2.又因为 aN, 所以a1. (2)因为 |x1| |x2| |(x1)(x2)|3, 当且仅当 (x1)(x2)0,即 1x2 时取到等号,所以f(x)的最小值为3. 5(江苏高考 )已知实数x,y满足: |xy| 1 3,|2 xy| 1 6,求证: | y| 5 18. 解:因为 3|y| |3y| |2(xy)(2xy)| 2|xy| |2xy| , 由题设知 |xy| 1 3, |2 x y
4、| 1 6, 从而 3|y| 2 3 1 6 5 6,所以 | y| 5 18. 对应学生用书P16 不等式的基本性质 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立,再就是利用不等式性质,进行数值 或代数式大小的比较,常用到分类讨论的思想 例 1 “acbd”是“ab且cd”的 ( ) A必要不充分条件B充分不必要条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 解析 易得ab且cd时必有acbd.若acbd时,则可能有ab且cd. 答案 A 基本不等式的应用 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型:和为定值时,积有最大值;积为定 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 值时,和有最小值, 在具体
5、应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围和条件:“一正、 二定、三相等” 例 2 x,y,zR,x 2y3z0, y 2 xz的最小值为 _ 解析 由x2y3z0 得yx 3z 2 , 则 y2 xz x29z26xz 4xz 6xz6xz 4xz 3, 当且仅当x3z时取“” 答案 3 例 3 (新课标全国卷)设a,b,c均为正数,且abc1,证明: (1)abbcca 1 3; (2) a 2 b b2 c c 2 a1. 证明 (1)由a2b22ab,b2c22bc,c2a 22ca 得a 2 b2c2abbcca. 由题设得 (abc)21,即a 2 b2c22ab2bc2ca1.
6、所以 3(abbcca)1, 即abbcca 1 3. (2)因为 a2 b b2a, b2 c c 2b, c2 a a2c, 故 a 2 b b2 c c2 a(a bc)2(abc), 即 a 2 b b2 c c2 a abc. 所以 a 2 b b 2 c c 2 a1. 含绝对值的不等式的解法 1.公式法 |f(x)|g(x)?f(x)g(x)或f(x)|g(x)| ? f(x)2g(x)2. 3零点分段法 含有两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的 未知数的值, 将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝 对值符号内的代
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