高中数学第一讲第1节不等式创新应用教学案新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 1 节 不等式 核心必知 1实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系 (1)设a,bR,则 ab?ab0;ab?ab0;ab?ab0 (2)设b(0, ),则 a b1? ab; a b1? ab; a b1? ab. 2不等式的基本性质 对称性 如果ab,那么ba;如果ba,那么ab.即a b?ba 传递性如果ab,bc,那么ac即ab,bc?ac 可加性如果ab,那么acbc 可乘性 如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0, 那么acbc 乘方如果ab0,那么a n bn(nN ,n2) 开方 如果ab0,那么 n a n b(nN,n
2、2) 问题思考 1若xy,ab,则在axby,axby,axby,xbya, a y b x这五个不等式中,恒成立的不等式有哪些? 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提示:令x 2,y 3,a3,b2, 符合题设条件xy,ab, 则ax3(2)5,by2( 3) 5, axby,因此不成立 又ax 6,by 6,axby,因此也不正确 又 a y 3 3 1, b x 2 2 1, a y b x,因此不正确 由不等式的性质可推出恒成立 即恒成立的不等式有 2已知三个不等式:ab0,bcad0, c a d b0(其中 a,b,c,d均为实数 ),用其中 两个不等式作为条件,余下的一个
3、不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题有几 个? 提示:由已知可组成三个命题 若ab 0,bcad 0,则 c a d b0,此命题正确,只需在不等式 bcad0 两侧同除 以ab,根据不等式性质,整理即得结论; 若ab 0, c a d b 0,则 bcad0,此命题正确,只需在不等式 c a d b0 两侧同乘以 ab,根据不等式性质,整理即得结论; 若 c a d b0, bcad0,则ab0,此命题正确, 因为 c a d b0? bcad ab 0, 又因为bcad0,故ab0 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即可组成的正确命题有3 个 xR,比较x3 1与 2x22
4、x的大小 精讲详析 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小解答本题需要将作差后的代 数式分解因式,然后根据各因式的符号判断x31 与 2x22x的大小 (x31)(2x22x) (x3x2)(x22x1) x2(x 1) (x1)2 (x1)(x2x1) x2x1x 1 2 2 3 4 3 4 0, 当x1 时, (x1)(x2x1)0.即x312x22x; 当x1 时, (x1)(x2x1)0,即x31 2x22x; 当x1 时, (x1)(x2x1)0,即x31 2x22x. (2)在变形中,一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断变形的常用技巧有:因式 分解、配方、通分、分母有理化等 (3
5、)在定号中,若为几个因式的积,需每个因式均先定号,当符号不确定时,需进行分 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 类讨论 1xR,比较 (x1)x 2x 21 与 x 1 2 (x2x1)的大小 解:因为 (x1)x2 x 21 (x1) x2x 1 x 2 (x1)(x2x1) x 2(x1), x 1 2 (x2x1) x1 1 2 (x2x1) (x1)(x2x1) 1 2(x 2 x1) 作差,得 (x1)x 21 2x1 x 1 2 (x2x1) (x1)(x2x1) x 2(x1) (x 1)(x 2 x 1) 1 2(x 2 x 1) 1 2(x 2 x1) 1 2(x 2
6、x) 1 2 0, (x1)x 2x 21 x 1 2 (x2x1). 下列命题中正确的是( ) (1)若ab,cb,则ac; (2)若ab,则 lga b 0; (3)若ab,cd,则acbd; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (4)若ab0,则 1 a0, 所以ab0,两边同乘以 1 ab ,得 1 a 1 b. (5)错误只有当cd0 时,结论才成立 (6)正确因为cd,所以dc,又ab, 所以adbc.综上可知 (4)(6)正确 答案: B 运用不等式的性质时要注意条件,如倒数法则要求两数同号;两边同乘一个数,不等号 方向是否改变要视此数的正负而定;同向不等式可以相加,异向不
7、等式可以相减 2(广州二模 )设a,b为正实数,则“a0,b0, 则 1 a 1 b? 1 a 0,b0?a 2b bb1, 0b1,0 bc,选项 A 不正确 yx,( 1,0)在(0, )上是减函数, 当ab1,0 ba c,选项 B 不正确 ab1, lg alg b0,alg ablg b0, a lg b b lg a .又 0logbc,选项 D 不正确 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一、选择题 1(浙江高考 )若a,b为实数,则“0ab1”是“a 1 b或 b 1 a ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析:
8、选A 对于 0ab1,如果a0,则b0,a 1 b成立,如果 a0,则b0,b 1 a成立,因此“ 0 ab1”是“a 1 b或 b 1 a”的充分条件;反之,若 a 1,b2,结论 “a 1 b或 b 1 a ”成立,但条件0ab 1不成立,因此“0ab1”不是“a 1 b或 b 1 a ”的 必要条件;即“0ab1”是“a 1 b或 b 1 a ”的充分而不必要条件 2已知a,b,cR,且ab0,则下面推理中正确的是( ) Aab?am 2bm2 B.a c b c? ab Ca 3 b3? 1 a 1 b Da 2 b2?ab 解析:选C 对于 A,若m0,则不成立;对于B,若c0,则不
9、成立;对于C,a 3 b3 0? (ab)(a 2ab b2)0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a 2 abb 2 a b 2 2 3 4b 20 恒成立, ab0,ab. 又ab0, 1 a 1 b. C 成立; 对于 D ,a2b2? (ab)(ab)0,不能说ab. 3已知a0, 1b0,那么 ( ) Aaabab 2 Bab 2ab a Cabaab 2 D abab 2 a 解析:选 D ab 2 abab(b1), a0, 1b 0, b10,ab0.ab 2 ab0.即ab 2 ab; 又ab 2 aa(b 21), 1b0,b21,即b210.又a0, ab 2
10、a0,即ab 2 a.故abab 2 a. 4如果aR,且a 2 a0,那么a,a 2, a,a2的大小关系是 ( ) Aa2aa2a Baa2a 2 a Caa 2 aa 2 Da 2 aaa 2 解析:选 B a2a0,即a(a 1) 0可得, 1a0, aa 20, 0 a2a. 综上有aa 2 a 2 a. 二、填空题 5若f(x)3x2x 1,g(x)2x2x1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)_g(x) 解析:f(x)g(x)(3x2x1)(2x2x1)x22x2(x1)2110, f(x)g(x) 答案: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6有以下四个条件: b0
11、a; 0ab;a0b;ab 0. 其中能使 1 a 1 b成立的有 _个条件 解析:b0, 1 b0. a0, 1 a0. 1 a 1 b. ba0, 1 b 1 a . a 0b, 1 a0, 1 b0. 1 a 1 b. ab0, 1 a 1 b . 综上知,均能使 1 a 1 b成立 答案: 3 7给出下列条件:1ab;0ab1;0a1b.其中能推出logb 1 blog a 1 b logab成立的条件的序号是_(填所有可能的条件的序号) 解析: logb 1 b 1,若 1 ab,则 1 b 1 a 1b, loga 1 blog a 1 a 1,故条件不可以; 若 0ab1,则b1
12、 1 b 1 a. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 logabloga 1 b log a 1 a 1log b 1 b, 故条件可以; 若 0a1b,则 0 1 b 1, loga 1 b0,log ab0,条件不可以 故应填 . 答案: 8下列命题: cacb?ab; ab0,cd0? a d b c; c a c b,且 c0?ab; n a n b(nN ,n1)?ab. 其中真命题是_(填序号 ) 解析:cacb? ab?ab. ab0,cd0? a d b c0, a d b c. c a c b c(ba) ab 0, c0,有 ba0, ab0 或 ba0, ab0.
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