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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 节 绝对值不等式 核心必知 1绝对值的几何意义 (1)实数a的绝对值 |a| 表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离 (2)对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A、B,那么 |ab| 的几何 意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度 2绝对值三角不等式 (1)如果a,b是实数,则 |ab| |a| |b| ,当且仅当ab0 时,等号成立 (2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a,b换成向量a,b,则它的几何意义是三 角形两边之和大于第三边 3三个实数的绝对值不等式 如果a,b,c是实数,那么 |ac| |ab| |
2、bc| ,当且仅当 (ab)(bc)0 时,等 号成立 问题思考 1|ab| 与|a| |b| ,|ab| 与|a| |b| 及 |a| |b| 分别具有什么关系? 提示: |a| |b| |ab| ,|a| |b| |ab| |a| |b| 2不等式 |a| |b| |ab| |a| |b| 中“”成立的条件分别是什么? 提示:不等式 |a| |b| |ab| |a| |b| ,右侧“”成立的条件是ab0,左侧“” 成立的条件是ab0,且 |a| |b| ;不等式 |a| |b| |ab| |a| |b| ,右侧“”成立 的条件是ab0,左侧“”成立的条件是ab0 且|a| |b| 3绝对值
3、不等式|ac| |ab| |bc| 的几何解释是什么? 提示:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时, |a c| |ab| |bc| ;当点B不在点A,C之间时, |ac| |ab| |bc| 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)以下四个命题: 若a,bR,则 |ab| 2|a| |ab| ; 若 |ab| 1,则 |a| |b| 1; 若 |x| 2,|y| 3,则 | x y | 2 3; 若AB0,则 lg |A| |B| 2 1 2 ( lg|A| lg|B|) 其中正确的命题有( ) A 4个B 3个 C2 个D 1个 (2)不等式 |a
4、b| |a| |b| 1 成立的充要条件是_ 精讲详析 本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要条件等问题 解答问题 (1)可利用绝对值三角不等式定理,结合不等式的性质、基本定理等一一验证; 解答问题 (2)应分 |a| |b| 与|a|b| 时,有 |a| |b|0 , |ab| |a| |b| |a| |b|. 必有 |ab| |a| |b| 1. 即|a|b| 是 |ab| |a| |b| 1成立的充分条件 当 |ab| |a| |b| 1 时, 由|ab|0 ,必有 |a| |b|0. 即|a|b| ,故 |a|b| 是 |ab| |a| |b| 1 成立的必要条件故所求为:|a|b|
5、. 答案: (1)A (2)|a| |b| (1)定理 |a| |b| |ab| |a| |b| 的几何意义是:三角形任意两边之差小于第三边, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三角形任意两边之和大于第三边 (2)对|a| |b| |ab| |a| |b| 的诠释: 定理的构 成部分 特征 大小 关系 等号成立的条件 左端 |a| |b| 可能是负的中间部分 中间部分为 |ab| 时,ab0, 且|a| |b| 时,左边的等号成 立;中间部分为|ab| 时,ab 0,且 |a| |b| 时,左边等号 成立 中间部分 |ab| 肯定是非负的 左端 右端 用“”连接时,ab0,右端 取等号
6、,ab0,且|a| |b| 时, 左端取等号;用“”连接时, ab0,且 |a| |b| 时,左端取 等号,ab0,右端取等号 右端 |a| |b| 是非负的中间部分 中间部分为 |ab| 时,ab0, 等号成立;中间部分为|ab| 时,ab0,等号成立 . 1(1)若x 5,nN,则下列不等式: |xlg n n1| 5|lg n n1| ; |x|lg n n1 5lg n n 1; xlg n n1 5|lg n n1| ; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |x|lg n n1 5|lg n n1|. 其中,能够成立的有_ (2)已知 |a| |b| ,m |a| |b| |a
7、b| ,n |a| |b| |ab| ,则m,n之间的大小关系是( ) AmnBmnCmnDmn 解析: (1)0 n n1 1.lg n n1 0. 由x5,并不能确定|x| 与 5 的关系, 可以否定,而|x|lg n n10,成立 (2)|a| |b| |ab| |a| |b| , m |a| |b| |ab| |ab| |ab| 1, n |a| |b| |ab| |a| |b| |a| |b| 1,m1n. 答案: (1)(2)D 已知a,bR 且a0,求证: |a2b2| 2|a| |a| 2 |b| 2 . 精讲详析 本题的特点是绝对值符号较多,直接去掉绝对值符号较困难从所证的不
8、 等式可以看出,不等式的左边为非负值,而不等式右边的符号不定如果不等式右边非正, 这时不等式显然成立;当不等式右边为正值时,有|a| |b|. 所以本题应从讨论|a| 与|b| 的大 小入手,结合作差比较法,可以使问题得以解决 若 |a| |b| , 左边 |ab|ab| 2|a| 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |ab|ab| |abab| |ab|ab| |ab| |ab| 1 1 |ab| 1 |ab| . 1 |ab| 1 |a| |b| , 1 |ab| 1 |a| |b| , 1 |ab| 1 |ab| 2 |a| |b| . 左边 |a| |b| 2 右边 若 |a|0
9、,右边 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3如果关于x的不等式 |xa| |x4| 1 的解集是全体实数,则实数a的取值范围是 ( ) A(, 35, ) B5, 3 C3,5 D(, 53, ) 解析:选 D 在数轴上,结合绝对值的几何意义可知a 5 或a 3. 4若关于x的不等式 |x1| kx恒成立,则实数k的取值范围是 ( ) A(, 0 B1,0 C0,1 D 0, ) 解析:选 C 作出y |x1| 与l1:ykx的图象如图,当k0 时,直线一定经过第二、 四象限,从图看出明显不恒成立;当k 0 时,直线为x轴,符合题意;当k0 时,要使 |x 1| kx恒成立,只需
10、k1. 综上可知k0,1 二、填空题 5不等式 x1 x1 1 的解集为 _ 解析: x 1 x 1 1, |x 1| |x1| , x10, (x1) 2( x1) 20, x10, 解之得 4x0,即x0. 答案: x|x0 6不等式 |2x 1| x1 的解集是 _ 解析:原不等式等价于|2x1| x1? x1 2x1x1? 3x0, x2 ? 0x2. 答案: x|0 x2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7 (陕西高考 )若存在实数x使|xa| |x1| 3成立, 则实数a的取值范围是_ 解析: |xa| |x1| |a1| ,则只需要 |a1| 3,解得 2a4. 答案:
11、 2,4 8(重庆高考 )若关于实数x的不等式 |x5| |x3|0. (1)当a1 时,求不等式f(x) 3x2 的解集; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)若不等式f(x)0 的解集为 x|x 1,求a的值 解: (1)当a1 时,f(x)3x2 可化为 |x1| 2. 由此可得x3 或x 1. 故不等式f(x)3x2 的解集为 x|x3 或x 1 (2)由f(x)0 得|xa| 3x 0, 此不等式化为不等式组 xa, xa3x0 或 xa, ax3x0, 即 xa, x a 4 或 xa, x a 2. 因为a0,所以不等式组的解集为x|x a 2 . 由题设可得 a 2 1,故 a2. 11已知函数f(x)|x3| 2,g(x) |x1| 4. (1)若函数f(x)的值不大于1,求x的取值范围; (2)若不等式f(x)g(x)m1 的解集为R,求m的取值范围 解: (1)由题意得f(x)1,即 |x3| 21, 得|x3| 3. 因为 |x3| 3? 3x33? 0x6, 所以x的取值范围是 0,6 (2)f(x)g(x)|x 3| |x1| 6, 因为 ?xR,由绝对值三角不等式得 f(x)g(x)|x 3| |x1| 6|3 x| |x1| 6|(3 x)(x1)| 646 2, 于是有m1 2,得m 3, 即m的取值范围是 (, 3.
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