高中数学第三章.2函数的极值与导数学案含解析新人教A版选修3.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 33.2 函数的极值与导数 提出问题 如图是函数yf(x)的图象 问题 1:yf(x)在xa处的导数f(a)等于多少? 提示:f (a)0. 问题 2:当xa时,f(x)取最大值吗? 提示:不是,但f(a)比xa附近的函数值都大 问题 3:在xa附近两侧导数f(x)的符号有什么特点? 提示:在xa附近左侧f(x)0,右侧f(x)0. 导入新知 1极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a) 0,而且在点xa附近的左侧f(x)0,就把点a叫做函数yf(x)的极小值 点,f(a
2、)叫做函数yf(x)的极小值 (2)极大值点与极大值 若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b) 0,而且在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值 化解疑难 1对极值概念的理解 (1)函数的极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或 是最小的 (2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一,也可能极值不存在,并且极大值 与极小值之间无确定的大小关系 2极值与极值点辨析 (1)函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点;极值是函数在极值 点处取得的函数值,即函数取得极值时对
3、应点的纵坐标 (2)极值点一定在区间的内部,端点不可能为极值点 利用导数求函数的极值 例 1 求下列函数的极值: (1)f(x) 1 3 x3x23x3;(2)f(x) ln x x . 解 (1)f(x)x22x3. 令f (x)0,得x13,x2 1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (, 1)1(1,3)3(3, ) f(x)00 f(x)单调递增 14 3 单调递减 6单调递增 故当x 1 时,函数取得极大值,且极大值为f(1) 14 3 ;当x 3 时,函数取得极小 值,且极小值为f(3) 6. (2)函数f(x) ln x x 的定义域为 (0, ), 且f
4、(x) 1 ln x x2 .令f(x)0,得x e. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,e)e(e, ) f(x)0 f(x)单调递增 1 e 单调递减 故当xe时,函数取得极大值,且极大值为f(e) 1 e.无极小值 类题通法 (1)求函数极值的步骤: 求方程f(x)0 在函数定义域内的所有根; 用f(x)0 的根将定义域分成若干小区间,列表; 由f(x)在各个小区间内的符号,判断f(x)0 的根处的极值情况 (2)表格给出了当x变化时y,y的变化情况,表格直观清楚,容易看出具体的变化情 况,并且能判断出是极大值还是极小值
5、,最后得出函数的极大值、极小值 活学活用 求下列函数的极值: (1)f(x)x312x6; (2)f(x) 2x x212. 解: (1)f (x) 3x2 12 3(x2)(x2) 令f (x)0, 解得x1 2,x22. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (, 2)2(2,2)2(2, ) f(x)00 f(x)单调递减10单调递增22单调递减 当x 2 时,f(x)有极小值,并且极小值为f(2) 10; 当x2 时,f(x)有极大值,并且极大值为f(2)22. (2)函数f(x)的定义域为R. f(x) 2x214x2 x21 2 2x1x1 x21 2 . 积一时之
6、跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 令f (x)0,得x 1 或x1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (, 1)1(1,1)1(1, ) f(x)00 f(x)单调递减3单调递增1单调递减 由上表可以看出,当x 1 时,函数取极小值3;当x1 时,函数取极大值 1. 已知函数极值求参数 例 2 已知函数f(x)x33ax 22bx 在点x 1 处的极小值为1,试确定a,b的 值,并求f(x)的单调区间 解 由已知f(x)3x26ax2b, f(1) 36a2b0. 又f(1) 13a2b 1, 由解得a 1 3, b 1 2, f(x)x3x2x. 由此得f(x)3x22
7、x1 (3x1)(x1), 令f (x)0,得x 1 3或 x1; 令f (x)0,得 1 3 x1, f(x)在x1 的左侧f (x)0, 右侧f(x)0, 即f(x)在x1 处取得极小值, 故a 1 3 ,b 1 2,且 f(x)x3x2x. 它的单调递增区间是, 1 3 和(1, ); 单调递减区间是 1 3,1 . 类题通法 已知函数极值,确定函数的解析式中的参数时,注意以下两点: (1)根据极值点的导数为0 和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须 验证充分性
8、 活学活用 已知函数f(x)x3ax 2 bxc,且当x 1 时取得极大值7,当x3 时取得极小值, 试求函数f(x)的极小值,并求a,b,c的值 解:f(x)x3ax 2bxc, f (x)3x22axb. x 1时函数取得极大值,x3 时函数取得极小值, 1,3 是方程f(x)0 的根,即为方程3x22axb0 的两根 故 13 2a 3 , 13 b 3, 解得 a 3, b 9. f(x)x33x29xc. x 1时取得极大值7, (1)3 3( 1) 29(1) c 7. c2. 函数f(x)的极小值为 f(3)33332932 25. 函数极值的综合应用 例 3 已知a为实数,函数
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