高中数学第三章.2两角和与差的正弦余弦正切公式知识巧解学案新人教A版必修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 疱工巧解牛 知识 ?巧学 一、两角和的余弦公式 1.比较 cos( - )与 cos( + ),根据 + 与-之间的联系: + = -(- ),则由两角差的公式得cos( + )=cos -(- )=cos cos(- )+sin sin(- )=cos cos -sin sin ,即 cos( + )=cos cos -sin sin . 学法一得这种以 -代的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用,同时也启 发我们要辩证地看待和角与差角.在公式 C( - )中,因为角、 是任意角,所以在 C(
2、 + )中,角、 也是任意角 . 2.用两点间的距离公式推导C( + ). 图 3-1-5 如图 3-1-5, 在直角坐标系xOy 内作单位圆O,以 O 为顶点, 以 x 轴的非负半轴为始边, 作出角、-,使角、 -的终边分别交单位圆于点P2、P4,再以OP2为始边,作角,使它 的终边交单位圆于点P3,这样就出现了、 +这样的角,设角、-的始边交单位圆于点 P1,则 P1(1,0).设 P2(x,y),根据任意角的三角函数的定义,有sin =y,cos =x,即 P2(cos, sin );同理 ,可得 P3(cos( + ),sin( + ),P4(cos(- ),sin(- ). 由整个作
3、图过程可知P3OP1 P2OP4,所以 |P 1P3|=|P2P4|. |P1P3| 2=|P 2P4| 2, 即 cos( + )-1 2+sin2( + )=cos(- )-cos2+ sin(- )-sin2. 根据同角三角函数的基本关系,整理得 2-2cos( + )=2-2(cos cos -sin sin ), 即 cos( + )=cos cos -sin sin . 3.利用向量的数量积推导C( + ). 图 3-1-6 如图 3-1-6,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆,以Ox 为始边作角、 -,它们与单位 圆的交点分别为A、 B. 显然,OA=(cos ,sin ),OB
4、=(cos(- ),sin(- ).根据向量数量积的定义,有OAOB= (cos ,sin )(cos(- ),sin(- )=cos cos(- )+sin sin(- )=cos cos -sin sin . 于是 cos( + )=cos cos -sin sin . 学法一得在处理问题的过程中,把有待解决或难解决的问题,通过某种转化, 归结为一 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 类已经解决或比较容易解决的问题,最终求得原问题的解,这种思想方法叫做化归思想. 以任意角的三角函数的定义为载体,我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式 和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排
5、列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关 键. 记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反. 二、两角和与差的正弦 1.公式的推导 sin( - )=cos 2 -( - )=cos ( 2 - )+ =cos( 2 - )cos -sin( 2 - )sin =sin cos -cos sin . 在上面的公式中,以-代,即可得到sin( + )=sin cos +cos sin . 2.和差公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差公式的特例.如 sin(2 - )=sin2 cos -cos2 sin =0 cos -1 sin =-sin . 当或中有一个角是 2
6、 的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便;上面公式中的、均为 任意角 . 误区警示公式对分配律不成立,即sin()sin sin,学习时一定要注意这一点. 学法一得公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用,如化简sin( + )cos -cos( + )sin,不 要将 sin( + )和 cos( + )展开,而应当整体考察, 进行如下变形: sin( + )cos -cos( + )sin =sin ( + )- =sin,这也体现了数学中的整体原则. 记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来,两角和与差的正弦公式的右端的两 部分为异名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相同. 三、两角
7、和与差的正切 1.公式的推导 利用两角和的正弦、余弦公式,可以推导出两角和的正切公式: tan( + )= sinsincoscos sincoscossin )cos( )sin( ,当cos cos 0 时,我们可以将上式的 分子、分母同时除以cos cos, 即得用 tan和tan表示的公式: tan( + )= tantan1 tantan ,在上面的公式中,以-代,可得两角差的正切公式: tan( - )= tantan1 tantan . 2.公式成立的条件 要能应用公式,首先要使公式本身有意义,即tan、 tan存在.并且 1+tan tan的值不为 零,所以可得、需满足的条件:
8、 k + 2 , k + 2 , + k + 2 或 - k + 2 ,以上 kZ.当 tan、 tan、 tan( )不存在时,可以改用诱导公式或其他方法解决. 学法一得两角和与差的正切同样不仅可以正用,而且可以逆用、 变形用, 逆用和变形用都 是化简三角恒等式的重要手段,如tan +tan =tan( + )(1-tan tan )就可以解决诸如tan15 +tan30+tan15tan30的问题 .所以在处理问题时要注意考察式子的特征,巧妙运用公式或 其变形,使变换过程简单明了. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 典题 ?热题 知识点一所求角可表示成两个特殊角的和、差 例 1 求
9、 sin75,tan15的值 . 解: sin75=sin(45+30 )=sin45cos30+cos45sin30 = 4 26 2 1 2 2 2 3 2 2 ; tan15=tan(60 -45)=32 31 13 45tan60tan1 45tan60tan , 或 tan15=tan(45-30 )=32 3 3 1 3 3 1 30tan45tan1 30tan45tan . 例 2 求 8sin15sin7cos 8sin15cos7sin 的值 . 思路分析: 观察被求式的函数名称的特点和角的特点,其中7=15-8,15=8 +7, 8=15-7.无论采取哪种代换方式,都可减
10、少角的个数.利用和角或差角公式展开,进行 约分、化简、求值.若用 7=15-8代换,分子、分母是二次齐次式;若用15=8+7 或 8=15-7代换,分子、分母将会出现三次式,显然选择后者更好,不妨比较一下. 答案: 原式 = 8sin)87sin(7cos 8sin)87cos(7sin ? ? 8sin8cos7sin)8sin1 (7cos 8sin8cos7cos)8sin1(7sin 8sin7cos8sin8cos7sin7cos 8sin7sin8sin8cos7cos7sin 2 2 2 2 ? ? 8sin7sin8cos7cos 8sin7cos8cos7sin 8sin8c
11、os7sin8cos7cos 8sin8cos7cos8cos7sin 2 2 3215tan 15cos 15sin . 巧解提示 :原式 = ? ? 8sin15sin)815cos( 8sin15cos)815sin( ? ? 8sin15sin8sin15sin8cos15cos 8sin15cos8sin15cos8cos15sin ? ? 8cos15cos 8cos15sin =tan15=tan(45-30) 32 3 3 1 3 3 1 30tan45tan1 30tan45tan ? . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符
12、号及运算符号三部分组成.因此三角恒 等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适 当公式,这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值,还是证明,其结果应遵循以下 几个原则: 能求值的要求值;三角函数的种类尽可能少;角的种类尽可能少;次数 尽可能低;尽可能不含根号和分母. 知识点二已知、的三角函数值,求的三角函数值 例 3 已知 sin = 3 1 ,求 cos( 3 + )的值 . 思路分析: 因为 3 是个特殊角,所以根据C( + )的展开式,只需求出cos的值即可.由于条件 只告诉了sin = 3 1 ,没有明确角所在的象限,所以应分类讨论,先求cos
13、的值,再代入展 开式确定 cos( 3 + )的值 . 解: sin = 3 1 0,位于第一、二象限. 当是第一象限角时, cos = 3 22 ) 3 1 (1 2 , cos( 3 + )=cos 3 cos -sin 3 sin = 6 322 3 1 2 3 3 22 2 1 ; 同理,当是第二象限角时,cos = 3 22 , cos( 3 + )= 6 332 . 方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S( )、C( )、T( )的展开式中所需要的条 件,结合题设,明确谁是已知的,谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时, 应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是
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